同济高数 第4章 第4-5-14题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分：
$$
\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx
$$

步骤1：换元
令 $ t = \sqrt{x-1} $，则 $ t \ge 0 $，并且
$$
t^2 = x - 1 \quad\Rightarrow\quad x = t^2 + 1
$$
两边微分：
$$
dx = 2t \, dt
$$

步骤2：代入积分
原积分变为：
$$
\int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t \, dt
= 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 1} \, dt
$$

步骤3：化简被积函数
因为
$$
\frac{t^2}{t^2+1} = 1 - \frac{1}{t^2+1}
$$
所以：
$$
2 \int \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt
= 2 \left( \int 1 \, dt - \int \frac{1}{t^2+1} \, dt \right)
$$

步骤4：积分计算
$$
\int 1 \, dt = t,\quad \int \frac{1}{t^2+1} \, dt = \arctan t
$$
因此：
$$
2 \left( t - \arctan t \right) + C
$$

步骤5：回代变量
由 $ t = \sqrt{x-1} $，得：
$$
\int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx = 2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C
$$

最终结果为：
$$
\boxed{2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C}
$$

难度：★☆☆☆☆
（属于基础换元积分，步骤简单直接）