同济高数 第4章 第4-5-20题
📝 题目
20． $\displaystyle{\int} \frac{1}{2+5 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求不定积分
$$
\int \frac{1}{2+5\cos x}\, dx.
$$
这是一个有理形式的三角函数积分，常用万能代换（Weierstrass代换）处理。令
$$
t = \tan\frac{x}{2},
$$
则有
$$
\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt.
$$
代入原积分：
$$
\int \frac{1}{2+5\cos x}\, dx
= \int \frac{1}{2+5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt.
$$
先化简分母：
$$
2 + 5\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}
= \frac{2(1+t^2) + 5(1-t^2)}{1+t^2}
= \frac{2+2t^2+5-5t^2}{1+t^2}
= \frac{7 - 3t^2}{1+t^2}.
$$
因此积分变为
$$
\int \frac{1}{\frac{7-3t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt
= \int \frac{1+t^2}{7-3t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt
= \int \frac{2}{7-3t^2}\, dt.
$$
提出常数：
$$
= 2 \int \frac{1}{7-3t^2}\, dt.
$$
将分母写成平方差形式：
$$
7-3t^2 = 3\left( \frac{7}{3} - t^2 \right)
= 3\left( \left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2 - t^2 \right).
$$
于是
$$
2 \int \frac{1}{7-3t^2}\, dt
= \frac{2}{3} \int \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2 - t^2}\, dt.
$$
利用公式
$$
\int \frac{1}{a^2 - t^2}\, dt = \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C,
$$
其中 $ a = \sqrt{\frac{7}{3}} $，得到
$$
\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C
= \frac{1}{3a} \ln\left| \frac{a+t}{a-t} \right| + C.
$$
代回 $ a = \sqrt{\frac{7}{3}} $ 和 $ t = \tan\frac{x}{2} $：
$$
\frac{1}{3\sqrt{\frac{7}{3}}} \ln\left| \frac{\sqrt{\frac{7}{3}} + \tan\frac{x}{2}}{\sqrt{\frac{7}{3}} - \tan\frac{x}{2}} \right| + C
= \frac{1}{\sqrt{21}} \ln\left| \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}} \right| + C.
$$
因此最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{21}} \ln\left| \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}\tan\frac{x}{2}} \right| + C}.
$$
难度评级：★★★☆☆
（涉及万能代换、有理函数积分、对数公式，步骤稍多但思路常规）