同济高数 第4章 第4-5-4题
📝 题目
4． $\displaystyle{\int} \sqrt{2 x^{2}+9} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们需要计算不定积分：
$$
\int \sqrt{2x^2 + 9} \, dx
$$
步骤1：提取常数因子，简化形式
被积函数为 $\sqrt{2x^2 + 9}$，可以写成：
$$
\sqrt{2x^2 + 9} = \sqrt{2\left(x^2 + \frac{9}{2}\right)} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2 + \frac{9}{2}}
$$
因此：
$$
\int \sqrt{2x^2 + 9} \, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{x^2 + \frac{9}{2}} \, dx
$$
步骤2：使用三角代换
令 $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \tan t$，则 $dx = \frac{3}{\sqrt{2}} \sec^2 t \, dt$，且
$$
x^2 + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} \tan^2 t + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} (\tan^2 t + 1) = \frac{9}{2} \sec^2 t
$$
于是：
$$
\sqrt{x^2 + \frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \sec t
$$
因此积分变为：
$$
\sqrt{2} \int \frac{3}{\sqrt{2}} \sec t \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \sec^2 t \, dt
= \sqrt{2} \cdot \frac{9}{2\sqrt{2}} \int \sec^3 t \, dt
= \frac{9}{2} \int \sec^3 t \, dt
$$
**步骤3：计算 $\int \sec^3 t \, dt$**
这是一个标准积分，使用分部积分法：
$$
\int \sec^3 t \, dt = \frac{1}{2} \left( \sec t \tan t + \ln |\sec t + \tan t| \right) + C
$$
步骤4：代回原变量
由 $x = \frac{3}{\sqrt{2}} \tan t$ 得：
$$
\tan t = \frac{\sqrt{2}}{3} x, \quad \sec t = \sqrt{1 + \tan^2 t} = \sqrt{1 + \frac{2x^2}{9}} = \frac{\sqrt{2x^2 + 9}}{3}
$$
于是：
$$
\int \sqrt{2x^2 + 9} \, dx = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \sec t \tan t + \ln |\sec t + \tan t| \right) + C
$$
$$
= \frac{9}{4} \left( \frac{\sqrt{2x^2 + 9}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} x + \ln \left| \frac{\sqrt{2x^2 + 9}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} x \right| \right) + C
$$
化简：
$$
= \frac{9}{4} \left( \frac{x \sqrt{2x^2 + 9} \cdot \sqrt{2}}{9} + \ln \left| \frac{\sqrt{2x^2 + 9} + \sqrt{2}x}{3} \right| \right) + C
$$
$$
= \frac{x \sqrt{2x^2 + 9}}{4} \cdot \sqrt{2} + \frac{9}{4} \ln \left| \sqrt{2x^2 + 9} + \sqrt{2}x \right| - \frac{9}{4} \ln 3 + C
$$
由于常数 $-\frac{9}{4}\ln 3$ 可并入常数 $C$，最终结果为：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{x}{2} \sqrt{2x^2 + 9} + \frac{9}{4} \ln \left| \sqrt{2x^2 + 9} + \sqrt{2}x \right| + C}
$$
难度评级：★★★☆☆
（涉及三角代换与 $\sec^3 t$ 积分，需要一定技巧，但步骤标准。）