同济高数 第5章 第5-1-4题

[AI解答]

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（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x \quad (t>0)$
被积函数 $y=x$ 在区间 $[0,t]$ 上是一条过原点的直线，与 $x$ 轴围成的图形是直角三角形，底边长 $t$，高 $t$。
由定积分的几何意义，积分值等于该三角形面积：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x = \frac{1}{2} \cdot t \cdot t = \frac{t^{2}}{2}.
$$

（2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x$
被积函数 $\displaystyle y=\frac{x}{2}+3$ 是一条直线，在 $x=-2$ 处 $y=2$，在 $x=4$ 处 $y=5$。
该直线与 $x$ 轴及 $x=-2$、$x=4$ 围成的图形是一个梯形，上底长 $2$（$x=-2$ 处高度），下底长 $5$（$x=4$ 处高度），高为 $4-(-2)=6$。
梯形面积公式：
$$
\text{面积} = \frac{(2+5)\times 6}{2} = 21.
$$
因此：
$$
\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x = 21.
$$

（3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x$
$|x|$ 的图形关于 $y$ 轴对称，在 $[-1,0]$ 上为 $y=-x$，在 $[0,2]$ 上为 $y=x$。
积分值等于两个三角形面积之和：
- 左半部分 $[-1,0]$：底边长 $1$，高 $1$，面积 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 1\times 1 = \frac{1}{2}$。
- 右半部分 $[0,2]$：底边长 $2$，高 $2$，面积 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 2 = 2$。
总和为：
$$
\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.
$$

（4） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x$
被积函数 $y=\sqrt{9-x^{2}}$ 表示圆心在原点、半径为 $3$ 的上半圆。
积分区间 $[-3,3]$ 正好是半圆的直径范围，因此积分值等于半径为 $3$ 的半圆面积：
$$
\text{半圆面积} = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^{2} = \frac{9\pi}{2}.
$$
所以：
$$
\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x = \frac{9\pi}{2}.
$$

难度：★☆☆☆☆