同济高数 第5章 第5-1-7题
📝 题目
7．已知 $\ln 2=\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，试用抛物线法公式（1－6），求出 $\ln 2$ 的近似值（取 $n=10$ ，计算时取 4位小数）．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目要求用抛物线法（即Simpson公式）计算积分
$$
\ln 2 = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx
$$
取 $n=10$，即把区间 $[0,1]$ 分成 $2n=20$ 个小段（因为Simpson公式要求偶数个区间，这里 $n=10$ 表示将区间分成10个小区间，每个小区间再分一半，故实际节点数为 $2n+1=21$ 个节点）。
步长
$$
h = \frac{1-0}{2n} = \frac{1}{20} = 0.05
$$
节点为
$$
x_k = 0 + k h = 0.05k,\quad k=0,1,2,\dots,20
$$
函数值
$$
f(x_k) = \frac{1}{1+x_k}
$$
Simpson公式为
$$
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f_0 + f_{2n} + 4\sum_{k=1}^{n} f_{2k-1} + 2\sum_{k=1}^{n-1} f_{2k} \right]
$$
这里 $2n=20$，$n=10$。
先计算各点函数值（保留4位小数）：
- $x_0=0.00$，$f_0=1.0000$
- $x_1=0.05$，$f_1=1/1.05\approx 0.9524$
- $x_2=0.10$，$f_2=1/1.10\approx 0.9091$
- $x_3=0.15$，$f_3=1/1.15\approx 0.8696$
- $x_4=0.20$，$f_4=1/1.20\approx 0.8333$
- $x_5=0.25$，$f_5=1/1.25=0.8000$
- $x_6=0.30$，$f_6=1/1.30\approx 0.7692$
- $x_7=0.35$，$f_7=1/1.35\approx 0.7407$
- $x_8=0.40$，$f_8=1/1.40\approx 0.7143$
- $x_9=0.45$，$f_9=1/1.45\approx 0.6897$
- $x_{10}=0.50$，$f_{10}=1/1.50\approx 0.6667$
- $x_{11}=0.55$，$f_{11}=1/1.55\approx 0.6452$
- $x_{12}=0.60$，$f_{12}=1/1.60=0.6250$
- $x_{13}=0.65$，$f_{13}=1/1.65\approx 0.6061$
- $x_{14}=0.70$，$f_{14}=1/1.70\approx 0.5882$
- $x_{15}=0.75$，$f_{15}=1/1.75\approx 0.5714$
- $x_{16}=0.80$，$f_{16}=1/1.80\approx 0.5556$
- $x_{17}=0.85$，$f_{17}=1/1.85\approx 0.5405$
- $x_{18}=0.90$，$f_{18}=1/1.90\approx 0.5263$
- $x_{19}=0.95$，$f_{19}=1/1.95\approx 0.5128$
- $x_{20}=1.00$，$f_{20}=1/2.00=0.5000$
现在计算奇数下标和（$k=1$到$10$的$f_{2k-1}$，即下标1,3,5,…,19）：
$$
\sum_{\text{odd}} = f_1+f_3+f_5+f_7+f_9+f_{11}+f_{13}+f_{15}+f_{17}+f_{19}
$$
代入数值：
$$
0.9524+0.8696+0.8000+0.7407+0.6897+0.6452+0.6061+0.5714+0.5405+0.5128
$$
逐步相加：
0.9524+0.8696=1.8220
+0.8000=2.6220
+0.7407=3.3627
+0.6897=4.0524
+0.6452=4.6976
+0.6061=5.3037
+0.5714=5.8751
+0.5405=6.4156
+0.5128=6.9284
所以
$$
\sum_{\text{odd}} \approx 6.9284
$$
偶数下标和（$k=1$到$9$的$f_{2k}$，即下标2,4,6,…,18）：
$$
\sum_{\text{even}} = f_2+f_4+f_6+f_8+f_{10}+f_{12}+f_{14}+f_{16}+f_{18}
$$
代入：
0.9091+0.8333+0.7692+0.7143+0.6667+0.6250+0.5882+0.5556+0.5263
逐步相加：
0.9091+0.8333=1.7424
+0.7692=2.5116
+0.7143=3.2259
+0.6667=3.8926
+0.6250=4.5176
+0.5882=5.1058
+0.5556=5.6614
+0.5263=6.1877
所以
$$
\sum_{\text{even}} \approx 6.1877
$$
端点：
$$
f_0 + f_{20} = 1.0000 + 0.5000 = 1.5000
$$
代入Simpson公式：
$$
\ln 2 \approx \frac{0.05}{3} \left[ 1.5000 + 4\times 6.9284 + 2\times 6.1877 \right]
$$
先计算括号内：
$4\times 6.9284 = 27.7136$
$2\times 6.1877 = 12.3754$
总和 = $1.5000 + 27.7136 + 12.3754 = 41.5890$
乘以 $\frac{0.05}{3} = \frac{1}{60} \approx 0.0166667$：
$$
\ln 2 \approx \frac{41.5890}{60} = 0.69315
$$
取四位小数为 $0.6932$。
因此，抛物线法近似值为
$$
\boxed{0.6932}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（计算量稍大，但方法固定，属于中等偏易的数值积分练习）