同济高数 第5章 第5-1-*2题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 计算 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x \quad (a

步骤1：分割区间
将区间 $[a, b]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为
$$
\Delta x = \frac{b-a}{n}
$$
分点为
$$
x_i = a + i\Delta x,\quad i=0,1,2,\dots,n
$$

步骤2：取右端点作积分和
取每个小区间的右端点 $x_i = a + i\Delta x$，作黎曼和
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x
= \sum_{i=1}^{n} (a + i\Delta x) \Delta x
$$
代入 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，得
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( a + i\cdot\frac{b-a}{n} \right) \cdot \frac{b-a}{n}
= \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i
$$

步骤3：求和
$$
\sum_{i=1}^{n} a = n a,\quad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}
$$
所以
$$
S_n = \frac{b-a}{n} \cdot n a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}
= a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n}
$$

步骤4：取极限
$$
\int_a^b x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n
= a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}
$$
由于 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1}$，得
$$
\int_a^b x \, dx = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2}
= \frac{2a(b-a) + (b-a)^2}{2}
= \frac{(b-a)(2a + b-a)}{2}
= \frac{(b-a)(a+b)}{2}
$$
即
$$
\boxed{\displaystyle{\int_{a}^{b} x \, dx = \frac{b^2 - a^2}{2}}}
$$

---

（2） 计算 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}$

步骤1：分割区间
将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，
$$
\Delta x = \frac{1}{n},\quad x_i = \frac{i}{n},\ i=0,1,\dots,n
$$

步骤2：取右端点作积分和
取右端点 $x_i = \frac{i}{n}$，则
$$
S_n = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} \cdot \frac{1}{n}
= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n}
$$
这是一个等比数列求和：首项 $\mathrm{e}^{1/n}$，公比 $\mathrm{e}^{1/n}$，项数 $n$，
$$
\sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} = \frac{\mathrm{e}^{1/n} \left(1 - \mathrm{e}^{n/n}\right)}{1 - \mathrm{e}^{1/n}}
= \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}}
$$
所以
$$
S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}}
$$

步骤3：取极限
$$
\int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n
= (1-\mathrm{e}) \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})}
$$
令 $t = \frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0$，
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})}
= \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}}
$$
利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$1 - \mathrm{e}^{t} \sim -t$，所以
$$
\lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}}
= \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{-t} = -1
$$
因此
$$
\int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = (1-\mathrm{e}) \cdot (-1) = \mathrm{e} - 1
$$
即
$$
\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, dx = \mathrm{e} - 1}}
$$

---

难度评级：★★☆☆☆
（涉及定积分定义、等比数列求和与极限运算，思路直接但需注意极限处理细节）