同济高数 第5章 第5-2-6题
📝 题目
6．证明 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 在 $[-1,+\infty)$ 上是单调增加函数，并求 $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一步：证明单调性
由原函数定义：
$$
f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \, dt
$$
其导数为
$$
f'(x)=\sqrt{1+x^{3}}
$$
在区间 $[-1,+\infty)$ 上，当 $x \ge -1$ 时，$1+x^3 \ge 1+(-1)^3 = 0$，且仅当 $x=-1$ 时等于0，其余均大于0，因此
$$
f'(x) \ge 0
$$
且只在孤立点为零，故 $f(x)$ 在 $[-1,+\infty)$ 上严格单调增加。
**第二步：求 $\left(f^{-1}\right)'(0)$**
由反函数导数公式：
$$
\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)},\quad \text{其中 } f(x_0)=y_0
$$
这里 $y_0=0$，即解
$$
f(x_0)=\int_{1}^{x_0} \sqrt{1+t^{3}}\, dt = 0
$$
显然当 $x_0=1$ 时，积分上下限相等，值为0，所以 $x_0=1$。
于是
$$
f'(1)=\sqrt{1+1^{3}}=\sqrt{2}
$$
因此
$$
\left(f^{-1}\right)'(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及积分定义的函数单调性判断及反函数求导，计算简单，思路直接。）