同济高数 第5章 第5-2-9题
📝 题目
9．计算下列各定积分：
（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a}\left(3 x^{2}-x+1\right) \mathrm{d} x$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{1}^{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{4}}\right) \mathrm{d} x$ ；
（3） $\displaystyle{\int}_{4}^{9} \sqrt{x}(1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$ ；
（4） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}$ ；
（5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ；
（6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{3} a} \frac{\mathrm{~d} x}{a^{2}+x^{2}}$ ；
（7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ；
（8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ；
（9） $\displaystyle{\int}_{-e-1}^{-2} \frac{d x}{1+x}$ ；
（10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ；
（11） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ；
（12） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x+1, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2} x^{2}, & x\gt 1 .\end{cases}$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
$$
\int_{0}^{a} (3x^2 - x + 1) \, dx
= \left[ x^3 - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{a}
= a^3 - \frac{a^2}{2} + a.
$$
（2）
$$
\int_{1}^{2} \left( x^2 + \frac{1}{x^4} \right) dx
= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{1}{3x^3} \right]_{1}^{2}
= \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{24} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \right)
= \frac{64}{24} - \frac{1}{24} = \frac{63}{24} = \frac{21}{8}.
$$
（3）
$$
\int_{4}^{9} \sqrt{x}(1+\sqrt{x}) \, dx
= \int_{4}^{9} (x^{1/2} + x) \, dx
= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} + \frac{x^2}{2} \right]_{4}^{9}
= \left( \frac{2}{3} \cdot 27 + \frac{81}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 8 + \frac{16}{2} \right)
= (18 + 40.5) - \left( \frac{16}{3} + 8 \right)
= 58.5 - \left( \frac{16}{3} + \frac{24}{3} \right)
= \frac{117}{2} - \frac{40}{3}
= \frac{351}{6} - \frac{80}{6} = \frac{271}{6}.
$$
（4）
$$
\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}
= \left[ \arctan x \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}
= \arctan \sqrt{3} - \arctan \frac{1}{\sqrt{3}}
= \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.
$$
（5）
$$
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
= \left[ \arcsin x \right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
= \arcsin \frac{1}{2} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)
= \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{3}.
$$
（6）
$$
\int_{0}^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{a^2+x^2}
= \left[ \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} \right]_{0}^{\sqrt{3}a}
= \frac{1}{a} \left( \arctan \sqrt{3} - \arctan 0 \right)
= \frac{1}{a} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3a}.
$$
（7）
$$
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}
= \left[ \arcsin \frac{x}{2} \right]_{0}^{1}
= \arcsin \frac{1}{2} - \arcsin 0
= \frac{\pi}{6}.
$$
（8）
先化简被积函数：
$$
\frac{3x^4+3x^2+1}{x^2+1}
= \frac{3x^2(x^2+1)+1}{x^2+1}
= 3x^2 + \frac{1}{x^2+1}.
$$
于是
$$
\int_{-1}^{0} \left( 3x^2 + \frac{1}{x^2+1} \right) dx
= \left[ x^3 + \arctan x \right]_{-1}^{0}
= (0+0) - \left( -1 + \arctan(-1) \right)
= 1 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1 + \frac{\pi}{4}.
$$
（9）
注意积分限：下限 $-e-1$，上限 $-2$，且 $x \neq -1$，在区间内连续。
$$
\int_{-e-1}^{-2} \frac{dx}{1+x}
= \left[ \ln|1+x| \right]_{-e-1}^{-2}
= \ln| -1 | - \ln| -e |
= \ln 1 - \ln e = 0 - 1 = -1.
$$
（10）
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 \theta \, d\theta
= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta
= \left[ \tan \theta - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
= \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - (0-0) = 1 - \frac{\pi}{4}.
$$
（11）
利用周期性，$|\sin x|$ 周期为 $\pi$，在 $[0,2\pi]$ 上对称：
$$
\int_{0}^{2\pi} |\sin x| \, dx
= 2 \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx
= 2 \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi}
= 2(1 - (-1)) = 4.
$$
（12）
分段积分：
$$
\int_{0}^{2} f(x) dx
= \int_{0}^{1} (x+1) dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x^2 dx
= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{1}^{2}
= \left( \frac{1}{2} + 1 \right) + \left( \frac{8}{6} - \frac{1}{6} \right)
= \frac{3}{2} + \frac{7}{6}
= \frac{9}{6} + \frac{7}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.
$$
难度：★☆☆☆☆