同济高数 第5章 第5-3-5题

[AI解答]

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我们证明题目中的三个积分相等。已知 $ f $ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $ n \in \mathbf{Z} $。

首先，考虑第一个积分：
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\sin x|) \, \mathrm{d}x
$$
作变量代换 $ t = x - \frac{n}{2}\pi $，则 $ x = t + \frac{n}{2}\pi $，且当 $ x $ 从 $ \frac{n}{2}\pi $ 到 $ \frac{n+1}{2}\pi $ 时，$ t $ 从 $ 0 $ 到 $ \frac{\pi}{2} $。于是：
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left( \left| \sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| \right) \, \mathrm{d}t
$$

利用三角函数的周期性及对称性：
$$
\sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) =
\begin{cases}
\sin t, & n \equiv 0 \pmod{4} \\
\cos t, & n \equiv 1 \pmod{4} \\
-\sin t, & n \equiv 2 \pmod{4} \\
-\cos t, & n \equiv 3 \pmod{4}
\end{cases}
$$
取绝对值后，有：
$$
\left| \sin\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| =
\begin{cases}
\sin t, & n \text{ 为偶数} \\
\cos t, & n \text{ 为奇数}
\end{cases}
$$
因此：
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \, \mathrm{d}t \quad \text{或} \quad \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t
$$
但注意，在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上，$\sin t$ 与 $\cos t$ 的值域均为 $[0,1]$，且由变量代换 $ u = \frac{\pi}{2} - t $ 可得：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin u) \, \mathrm{d}u
$$
所以无论 $ n $ 的奇偶性，都有：
$$
I_1 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x
$$

再考虑第二个积分：
$$
I_2 = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\cos x|) \, \mathrm{d}x
$$
同样作代换 $ t = x - \frac{n}{2}\pi $，得：
$$
I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left( \left| \cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| \right) \, \mathrm{d}t
$$
利用：
$$
\cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) =
\begin{cases}
\cos t, & n \equiv 0 \pmod{4} \\
-\sin t, & n \equiv 1 \pmod{4} \\
-\cos t, & n \equiv 2 \pmod{4} \\
\sin t, & n \equiv 3 \pmod{4}
\end{cases}
$$
取绝对值后：
$$
\left| \cos\left( t + \frac{n}{2}\pi \right) \right| =
\begin{cases}
\cos t, & n \text{ 为偶数} \\
\sin t, & n \text{ 为奇数}
\end{cases}
$$
因此：
$$
I_2 = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos t) \, \mathrm{d}t \quad \text{或} \quad \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \, \mathrm{d}t
$$
同样由对称性，两者都等于 $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x$。

综上，三个积分均相等，即：
$$
\displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\sin x|) \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2}\pi}^{\frac{n+1}{2}\pi} f(|\cos x|) \, \mathrm{d}x = \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, \mathrm{d}x
$$
证毕。

难度：★★☆☆☆