同济高数 第5章 第5-4-1题
📝 题目
1．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值：
（1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{4}}$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ；
（3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ；
（4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{d x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}$ ；
（5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-p t} \sin \omega t \mathrm{~d} t \quad(p\gt 0, \omega\gt 0)$ ；
（6） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ；
（7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ；
（8） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(1-x)^{2}}$ ；
（9） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{x-1}}$ ；
（10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐题判定收敛性并计算（若收敛）。
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(1)
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^4}
$$
这是无穷限反常积分，被积函数在 $[1,+\infty)$ 连续且 $p=4>1$，故收敛。
计算：
$$
\int_{1}^{+\infty} x^{-4}dx = \lim_{b\to+\infty}\left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{1}^{b}
= \lim_{b\to+\infty}\left( -\frac{1}{3b^{3}} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}.
$$
答案： $\displaystyle \frac{1}{3}$，收敛。
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(2)
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{1}^{+\infty} x^{-1/2}dx
$$
$\displaystyle p=\frac12<1$，发散。
答案： 发散。
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(3)
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-ax}dx \quad (a>0)
$$
收敛。计算：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-ax}dx = \lim_{b\to+\infty}\left[ -\frac{1}{a}e^{-ax} \right]_{0}^{b}
= \lim_{b\to+\infty}\left( -\frac{1}{a}e^{-ab} + \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{a}.
$$
答案： $\displaystyle \frac{1}{a}$，收敛。
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(4)
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x)(1+x^{2})}
$$
先分解部分分式：
$$
\frac{1}{(1+x)(1+x^{2})} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1+x^{2}}
$$
解得 $\displaystyle A=\frac12,\ B=-\frac12,\ C=\frac12$，即：
$$
\frac{1}{(1+x)(1+x^{2})} = \frac12\cdot\frac{1}{1+x} + \frac{-x+1}{2(1+x^{2})}
$$
于是：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x)(1+x^{2})}
= \frac12\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x} - \frac12\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{1+x^{2}}dx + \frac12\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{2}}
$$
第一项发散（因为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x}$ 发散），故整体发散。
答案： 发散。
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(5)
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-pt}\sin\omega t\,dt \quad (p>0,\omega>0)
$$
利用公式：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-pt}\sin\omega t\,dt = \frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}
$$
（可用分部积分或拉普拉斯变换公式直接得到）
答案： $\displaystyle \frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}$，收敛。
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(6)
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{x^{2}+2x+2}
$$
分母配方：$x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1$，则：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)^{2}+1} = \left[ \arctan(x+1) \right]_{-\infty}^{+\infty}
= \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi.
$$
答案： $\pi$，收敛。
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(7)
$$
\int_{0}^{1} \frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
这是无界函数反常积分（$x\to1^{-}$ 时被积函数趋于无穷），但可积。
令 $u=1-x^{2}$，则 $du=-2xdx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=1$ 时 $u=0$：
$$
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = \int_{1}^{0} \frac{-\frac12 du}{\sqrt{u}} = \frac12\int_{0}^{1} u^{-1/2}du = \frac12\cdot 2 = 1.
$$
答案： $1$，收敛。
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(8)
$$
\int_{0}^{2} \frac{dx}{(1-x)^{2}}
$$
在 $x=1$ 处被积函数无界，需分成两段：
$$
\int_{0}^{2} \frac{dx}{(1-x)^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2}} + \int_{1}^{2} \frac{dx}{(1-x)^{2}}
$$
对于 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1-x)^{2}}$，令 $t=1-x$，得 $\int_{0}^{1} t^{-2}dt$ 发散（$p=2>1$ 但积分区间靠近0，$p\ge1$ 时发散）。
因此原积分发散。
答案： 发散。
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(9)
$$
\int_{1}^{2} \frac{x\,dx}{\sqrt{x-1}}
$$
令 $t=\sqrt{x-1}$，则 $x=t^{2}+1$，$dx=2t\,dt$，当 $x=1$ 时 $t=0$，$x=2$ 时 $t=1$：
$$
\int_{1}^{2} \frac{x}{\sqrt{x-1}}dx = \int_{0}^{1} \frac{t^{2}+1}{t}\cdot 2t\,dt = 2\int_{0}^{1} (t^{2}+1)dt = 2\left[ \frac{t^{3}}{3}+t \right]_{0}^{1} = 2\left( \frac13+1 \right) = \frac{8}{3}.
$$
答案： $\displaystyle \frac{8}{3}$，收敛。
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(10)
$$
\int_{1}^{e} \frac{dx}{x\sqrt{1-(\ln x)^{2}}}
$$
令 $u=\ln x$，则 $\displaystyle du = \frac{dx}{x}$，当 $x=1$ 时 $u=0$，$x=e$ 时 $u=1$：
$$
\int_{1}^{e} \frac{dx}{x\sqrt{1-(\ln x)^{2}}} = \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{1-u^{2}}} = \arcsin u \Big|_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}.
$$
答案： $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，收敛。
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难度评级： ★★☆☆☆
（主要考查反常积分基本判别法与简单换元积分，计算量不大，但需注意发散判断。）