同济高数 第5章 第5-4-3题
📝 题目
3．当 $k$ 为何值时，反常积分 $\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 收敛？当 $k$ 为何值时，该反常积分发散？又当 $k$ 为何值时，该反常积分取得最小值？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑反常积分
$$
I(k)=\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^k}.
$$
首先，令 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $，$ dx = e^t dt $，且当 $ x=2 $ 时 $ t=\ln 2 $，当 $ x\to +\infty $ 时 $ t\to +\infty $。代入得：
$$
I(k)=\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{e^t dt}{e^t \cdot t^k}
= \int_{\ln 2}^{+\infty} t^{-k}\, dt.
$$
因此原反常积分的敛散性等价于积分
$$
\int_{\ln 2}^{+\infty} t^{-k}\, dt
$$
的敛散性。
由 $ p $-积分的结论：
- 当 $ -k < -1 $，即 $ k > 1 $ 时，积分收敛；
- 当 $ -k \ge -1 $，即 $ k \le 1 $ 时，积分发散。
因此：
- 当 $ k > 1 $ 时，反常积分收敛；
- 当 $ k \le 1 $ 时，反常积分发散。
接下来求使得积分值最小的 $ k $。对于收敛的情况，即 $ k>1 $，积分值为
$$
I(k)=\int_{\ln 2}^{+\infty} t^{-k}\, dt
= \left[ \frac{t^{-k+1}}{-k+1} \right]_{\ln 2}^{+\infty}
= \frac{(\ln 2)^{-k+1}}{k-1},
$$
因为当 $ k>1 $ 时，$ t\to +\infty $ 时 $ t^{-k+1} \to 0 $。
于是我们要求函数
$$
f(k)=\frac{(\ln 2)^{1-k}}{k-1},\quad k>1
$$
的最小值。取对数后求导更方便，令
$$
g(k)=\ln f(k)= (1-k)\ln(\ln 2) - \ln(k-1).
$$
求导：
$$
g'(k)= -\ln(\ln 2) - \frac{1}{k-1}.
$$
令 $ g'(k)=0 $ 得：
$$
-\ln(\ln 2) - \frac{1}{k-1}=0
\quad\Rightarrow\quad
\frac{1}{k-1}= -\ln(\ln 2).
$$
因为 $\ln 2 \approx 0.6931$，所以 $\ln(\ln 2) \approx \ln(0.6931) < 0$，故 $-\ln(\ln 2) > 0$，因此
$$
k-1 = \frac{1}{-\ln(\ln 2)} > 0,
$$
即
$$
k = 1 - \frac{1}{\ln(\ln 2)}.
$$
此值大于1，且是唯一驻点，且当 $k\to 1^+$ 时 $f(k)\to +\infty$，当 $k\to +\infty$ 时 $f(k)\to 0^+$，因此该点为极小值点，即积分最小值点。
因此：
- 收敛条件：$k>1$
- 发散条件：$k \le 1$
- 积分取最小值时：$k = 1 - \dfrac{1}{\ln(\ln 2)}$
难度：★★☆☆☆