同济高数 第5章 第5-4-5题
📝 题目
5．计算反常积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们计算反常积分
$$
\int_{0}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x
$$
由于在 $x=0$ 处 $\ln x \to -\infty$，因此这是一个瑕积分。我们将其写为极限形式：
$$
\int_{0}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x = \lim_{a \to 0^{+}} \int_{a}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x
$$
先求不定积分。使用分部积分法，令
$u = \ln x$，$\mathrm{d}v = \mathrm{d}x$，
则 $\displaystyle \mathrm{d}u = \frac{1}{x}\mathrm{d}x$，$v = x$。于是
$$
\int \ln x \, \mathrm{d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = x \ln x - \int 1 \, \mathrm{d}x = x \ln x - x + C
$$
因此
$$
\int_{a}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x = \big[ x \ln x - x \big]_{a}^{1}
$$
代入上下限：
在 $x=1$ 处：$1 \cdot \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1$
在 $x=a$ 处：$a \ln a - a$
所以
$$
\int_{a}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x = (-1) - (a \ln a - a) = -1 - a \ln a + a
$$
现在取极限 $a \to 0^{+}$：
$$
\lim_{a \to 0^{+}} (-1 - a \ln a + a)
$$
由于 $\displaystyle \lim_{a \to 0^{+}} a \ln a = 0$（这是经典极限，可用洛必达法则验证），且 $\displaystyle \lim_{a \to 0^{+}} a = 0$，所以极限值为
$$
-1 - 0 + 0 = -1
$$
因此
$$
\int_{0}^{1} \ln x \, \mathrm{d}x = -1
$$
难度：★★☆☆☆