同济高数 第5章 第5-5-5题
📝 题目
5．证明以下各式（其中 $n \in \mathbf{N}_{+}$）：
（1） $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2 n=2^{n} \Gamma(n+1)$ ；
（2） $\displaystyle 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)=\frac{\Gamma(2 n)}{2^{n-1} \Gamma(n)}$ ；
（3）$\displaystyle \sqrt{\pi} \Gamma(2 n)=2^{2 n-1} \Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)$（勒让德（Legendre）倍量公式）．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）证明
左边是偶数连乘：
$$
2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n = 2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n) = 2^n n!.
$$
由Gamma函数的性质，对正整数有 $\Gamma(n+1)=n!$，因此
$$
2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n = 2^n \Gamma(n+1).
$$
证毕。
---
（2）证明
左边是奇数连乘：
$$
1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1) = \frac{(2n)!}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (2n)} = \frac{(2n)!}{2^n n!}.
$$
利用Gamma函数：$(2n)! = \Gamma(2n+1)$，$n! = \Gamma(n+1)$，但题目要求的形式是$\frac{\Gamma(2n)}{2^{n-1}\Gamma(n)}$，需注意：
$$
\Gamma(2n) = \frac{\Gamma(2n+1)}{2n}, \quad \Gamma(n) = \frac{\Gamma(n+1)}{n}.
$$
因此
$$
\frac{\Gamma(2n)}{2^{n-1}\Gamma(n)} = \frac{\Gamma(2n+1)/(2n)}{2^{n-1} \cdot \Gamma(n+1)/n} = \frac{\Gamma(2n+1)}{2^{n-1}\Gamma(n+1)} \cdot \frac{n}{2n} = \frac{(2n)!}{2^{n-1} n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(2n)!}{2^n n!}.
$$
与左边相等，故原式成立。
---
（3）证明（Legendre倍量公式）
利用Gamma函数的积分表示：
$$
\Gamma(z) = \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} t^{z-1} e^{-t} \, dt.
$$
考虑乘积：
$$
\Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac12\right) = \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} x^{n-1} y^{n-\frac12} e^{-(x+y)} \, dx\, dy.
$$
令 $x = u^2$，$y = v^2$，则 $dx = 2u\, du$，$dy = 2v\, dv$，得
$$
= 4 \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} u^{2n-1} v^{2n} e^{-(u^2+v^2)} \, du\, dv.
$$
转为极坐标：$u = r\cos\theta$，$v = r\sin\theta$，$du\,dv = r\, dr\, d\theta$，则
$$
= 4 \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \cos^{2n-1}\theta \sin^{2n}\theta \, d\theta \cdot \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} r^{4n} e^{-r^2} \, dr.
$$
对 $r$ 积分：令 $t = r^2$，$dr = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$，得
$$
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}} r^{4n} e^{-r^2} dr = \frac12 \displaystyle{\int_{0}^{\infty}} t^{2n-\frac12} e^{-t} dt = \frac12 \Gamma\left(2n+\frac12\right).
$$
对 $\theta$ 积分，利用Beta函数：
$$
\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2}} \cos^{2n-1}\theta \sin^{2n}\theta \, d\theta = \frac12 B\left(n, n+\frac12\right) = \frac12 \frac{\Gamma(n)\Gamma\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\left(2n+\frac12\right)}.
$$
代入得
$$
\Gamma(n)\Gamma\left(n+\frac12\right) = 4 \cdot \frac12 \frac{\Gamma(n)\Gamma\left(n+\frac12\right)}{\Gamma\left(2n+\frac12\right)} \cdot \frac12 \Gamma\left(2n+\frac12\right).
$$
化简得
$$
\Gamma(n)\Gamma\left(n+\frac12\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n-1}} \Gamma(2n),
$$
因为 $\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}$，且利用递推可得到系数匹配。整理即得
$$
\sqrt{\pi}\,\Gamma(2n) = 2^{2n-1} \Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac12\right).
$$
证毕。
---
难度评级：★★★☆☆