同济高数 第6章 第6-2-12题

[AI解答]

[AI解答]
已知抛物线为
$$
y = p x^{2} + q x, \quad p<0,\; q>0.
$$
它与直线 $x+y=5$ 相切，即直线方程可写为
$$
y = 5 - x.
$$
设切点为 $(x_0, y_0)$，则在该点处函数值相等且导数相等。

第一步：由相切条件建立关系

函数值相等：
$$
p x_0^{2} + q x_0 = 5 - x_0. \tag{1}
$$
导数相等：抛物线导数为 $y' = 2p x + q$，直线斜率为 $-1$，所以
$$
2p x_0 + q = -1. \tag{2}
$$
由(2)得
$$
q = -1 - 2p x_0. \tag{3}
$$
代入(1)：
$$
p x_0^{2} + (-1 - 2p x_0)x_0 = 5 - x_0.
$$
左边化简：
$$
p x_0^{2} - x_0 - 2p x_0^{2} = -p x_0^{2} - x_0.
$$
于是方程变为
$$
-p x_0^{2} - x_0 = 5 - x_0,
$$
即
$$
-p x_0^{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad x_0^{2} = -\frac{5}{p}.
$$
由于 $p<0$，右边为正，合理。于是
$$
x_0 = \sqrt{-\frac{5}{p}} \quad (\text{第一象限，取正}).
$$
再由(3)得
$$
q = -1 - 2p \sqrt{-\frac{5}{p}}.
$$
注意 $p<0$，可令 $p = -a,\; a>0$，则
$$
x_0 = \sqrt{\frac{5}{a}},\quad q = -1 + 2a \sqrt{\frac{5}{a}} = -1 + 2\sqrt{5a}.
$$
由于 $q>0$，要求
$$
2\sqrt{5a} > 1 \quad\Rightarrow\quad a > \frac{1}{20}.
$$

第二步：求抛物线与x轴围成的面积

抛物线与x轴交点：
$$
p x^{2} + q x = x(p x + q) = 0,
$$
得 $x=0$ 和 $x = -\dfrac{q}{p}$。由于 $p<0$，$-\dfrac{q}{p} > 0$，所以积分区间为 $[0, -\frac{q}{p}]$。

面积
$$
A = \int_{0}^{-q/p} (p x^{2} + q x) \, dx.
$$
计算：
$$
\int (p x^{2} + q x) dx = \frac{p}{3} x^{3} + \frac{q}{2} x^{2}.
$$
代入上下限：
$$
A = \frac{p}{3}\left(-\frac{q}{p}\right)^{3} + \frac{q}{2}\left(-\frac{q}{p}\right)^{2}
= \frac{p}{3}\left(-\frac{q^{3}}{p^{3}}\right) + \frac{q}{2}\left(\frac{q^{2}}{p^{2}}\right).
$$
化简：
$$
A = -\frac{q^{3}}{3p^{2}} + \frac{q^{3}}{2p^{2}} = \frac{q^{3}}{6p^{2}}.
$$
因为 $p<0$，$p^{2}>0$，且 $q>0$，所以 $A>0$，合理。

**第三步：用参数 $a$ 表示并求极值**

令 $p = -a$，则
$$
q = -1 + 2\sqrt{5a}.
$$
于是
$$
A = \frac{q^{3}}{6 a^{2}} = \frac{(-1 + 2\sqrt{5a})^{3}}{6 a^{2}}.
$$
为方便，设 $t = \sqrt{a} > 0$，则 $a = t^{2}$，
$$
q = -1 + 2\sqrt{5} t,
$$
$$
A = \frac{(-1 + 2\sqrt{5} t)^{3}}{6 t^{4}}.
$$
令 $u = -1 + 2\sqrt{5} t$，则 $t = \frac{u+1}{2\sqrt{5}}$，且 $u>0$（因 $q>0$）。
于是
$$
A = \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{1}{\left(\frac{u+1}{2\sqrt{5}}\right)^{4}}
= \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{(2\sqrt{5})^{4}}{(u+1)^{4}}
= \frac{u^{3}}{6} \cdot \frac{16 \cdot 25}{(u+1)^{4}}.
$$
因为 $(2\sqrt{5})^{4} = 16 \cdot 25 = 400$，所以
$$
A = \frac{400 u^{3}}{6 (u+1)^{4}} = \frac{200 u^{3}}{3 (u+1)^{4}}.
$$

**第四步：对 $u>0$ 求最大值**

令
$$
f(u) = \frac{u^{3}}{(u+1)^{4}}.
$$
取对数求导或直接求导：
$$
f'(u) = \frac{3u^{2}(u+1)^{4} - u^{3}\cdot 4(u+1)^{3}}{(u+1)^{8}}
= \frac{u^{2}(u+1)^{3}[3(u+1) - 4u]}{(u+1)^{8}}
= \frac{u^{2}(3 - u)}{(u+1)^{5}}.
$$
令 $f'(u)=0$，得 $u=3$（$u=0$ 舍去）。
当 $03$ 时导数为负，故 $u=3$ 为最大值点。

**第五步：回代求 $p,q$ 及最大面积**

$u=3$ 时，
$$
t = \frac{3+1}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}},
$$
所以
$$
a = t^{2} = \frac{4}{5},\quad p = -a = -\frac{4}{5}.
$$
$$
q = u = 3.
$$
最大面积
$$
A_{\max} = \frac{200 \cdot 3^{3}}{3 \cdot (3+1)^{4}} = \frac{200 \cdot 27}{3 \cdot 256}
= \frac{5400}{768} = \frac{225}{32}.
$$

因此，当 $p = -\dfrac{4}{5},\; q = 3$ 时，面积最大，最大值为 $\displaystyle \frac{225}{32}$。

难度：★★★☆☆