同济高数 第6章 第6-2-19题

[AI解答]

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我们取底面圆的圆心为坐标原点，固定直径为 $x$ 轴方向，则底面圆方程为
$$
x^2 + y^2 = R^2.
$$
垂直于 $x$ 轴（即垂直于固定直径）的截面是一个等边三角形，该截面与底面圆的交线是一条平行于 $y$ 轴的线段，其长度为
$$
2\sqrt{R^2 - x^2}.
$$
由于截面是等边三角形，且该线段为三角形的一条边，因此三角形的高为
$$
h(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{边长} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2}.
$$
于是截面面积
$$
A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{底边长} \cdot \text{高}
= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} \cdot \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2}
= \sqrt{3}\,(R^2 - x^2).
$$
立体体积通过对 $x$ 从 $-R$ 到 $R$ 积分得到：
$$
V = \displaystyle{\int_{-R}^{R}} A(x)\,dx
= \displaystyle{\int_{-R}^{R}} \sqrt{3}\,(R^2 - x^2)\,dx.
$$
由于被积函数是偶函数，可写为
$$
V = 2\sqrt{3} \displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx.
$$
计算积分：
$$
\displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx
= \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{R}
= R^3 - \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3}R^3.
$$
因此
$$
V = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3}R^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3}R^3.
$$

难度：★★☆☆☆