同济高数 第6章 第6-2-28题
📝 题目
28．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
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摆线第一拱对应参数 $ t \in [0, 2\pi] $。
弧长微元为
$$
ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt.
$$
计算导数：
$$
\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a \sin t.
$$
于是
$$
ds = \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t} \, dt
= a \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} \, dt
= a \sqrt{2 - 2\cos t} \, dt
= a \sqrt{4 \sin^2\frac{t}{2}} \, dt
= 2a \left|\sin\frac{t}{2}\right| dt.
$$
在第一拱 $ t \in [0, 2\pi] $ 上，$\sin\frac{t}{2} \ge 0$，所以
$$
ds = 2a \sin\frac{t}{2} \, dt.
$$
第一拱总弧长
$$
L = \int_{0}^{2\pi} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt
= 2a \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_{0}^{2\pi}
= 2a \left( -2\cos\pi + 2\cos 0 \right)
= 2a ( -2(-1) + 2 ) = 2a (2+2) = 8a.
$$
要将第一拱分成 $1:3$，即从起点到分点的弧长占全长的 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$。
设分点对应参数 $t_0$，则
$$
\int_{0}^{t_0} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{4} \cdot 8a = 2a.
$$
计算左边积分：
$$
\int_{0}^{t_0} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt
= 2a \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_{0}^{t_0}
= 4a \left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right).
$$
令其等于 $2a$，得
$$
4a \left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) = 2a
\implies 1 - \cos\frac{t_0}{2} = \frac12
\implies \cos\frac{t_0}{2} = \frac12.
$$
在第一拱范围内 $t_0 \in [0, 2\pi]$，所以 $\frac{t_0}{2} \in [0, \pi]$，解得
$$
\frac{t_0}{2} = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad t_0 = \frac{2\pi}{3}.
$$
此时对应的坐标：
$$
x = a\left( \frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} \right)
= a\left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right),
$$
$$
y = a\left(1 - \cos\frac{2\pi}{3}\right)
= a\left(1 - \left(-\frac12\right)\right)
= a \cdot \frac32 = \frac{3a}{2}.
$$
若取另一段比例为 $1:3$（即分点处弧长为 $\frac{3}{4}L$），则
$$
4a\left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) = 6a
\implies 1 - \cos\frac{t_0}{2} = \frac32
\implies \cos\frac{t_0}{2} = -\frac12,
$$
得 $\frac{t_0}{2} = \frac{2\pi}{3}$，即 $t_0 = \frac{4\pi}{3}$，此时
$$
x = a\left( \frac{4\pi}{3} - \sin\frac{4\pi}{3} \right)
= a\left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right),
$$
$$
y = a\left(1 - \cos\frac{4\pi}{3}\right)
= a\left(1 - \left(-\frac12\right)\right) = \frac{3a}{2}.
$$
因此分点坐标为
$$
\boxed{\left( a\left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \frac{3a}{2} \right)}
\quad\text{或}\quad
\boxed{\left( a\left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \frac{3a}{2} \right)}.
$$
难度：★★☆☆☆