同济高数 第6章 第6-2-3题

[AI解答]

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首先，求抛物线在给定点处的切线方程。
抛物线为
$$
y = -x^2 + 4x - 3
$$
求导得
$$
y' = -2x + 4
$$

在点 $(0, -3)$ 处，斜率
$$
k_1 = -2\cdot 0 + 4 = 4
$$
切线方程为
$$
y + 3 = 4(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = 4x - 3
$$

在点 $(3, 0)$ 处，斜率
$$
k_2 = -2\cdot 3 + 4 = -2
$$
切线方程为
$$
y - 0 = -2(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 6
$$

现在求两条切线的交点：
解
$$
4x - 3 = -2x + 6
$$
得
$$
6x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2}
$$
代入得
$$
y = 4\cdot\frac{3}{2} - 3 = 6 - 3 = 3
$$
所以交点为 $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$。

所求图形是由抛物线及两条切线围成的封闭区域。
该区域在 $x$ 方向可以分为两段：
- 从 $x=0$ 到 $x=\frac{3}{2}$，上方是切线 $y = 4x - 3$，下方是抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$；
- 从 $x=\frac{3}{2}$ 到 $x=3$，上方是切线 $y = -2x + 6$，下方是抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$。

因此面积为
$$
S = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)\right] dx}
+ \displaystyle{\int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[(-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3)\right] dx}
$$

先化简第一个被积函数：
$$
(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3) = 4x - 3 + x^2 - 4x + 3 = x^2
$$

第二个被积函数：
$$
(-2x + 6) - (-x^2 + 4x - 3) = -2x + 6 + x^2 - 4x + 3 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
$$

于是
$$
S = \displaystyle{\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^2 \, dx} + \displaystyle{\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x - 3)^2 \, dx}
$$

计算：
$$
\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{8}
$$

对于第二部分，令 $u = x - 3$，则当 $x = \frac{3}{2}$ 时 $u = -\frac{3}{2}$，当 $x = 3$ 时 $u = 0$，
$$
\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x - 3)^2 \, dx = \int_{-\frac{3}{2}}^{0} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-\frac{3}{2}}^{0}
= 0 - \frac{1}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8}
$$

所以总面积
$$
S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}
$$

因此，所求图形面积为 $\displaystyle \frac{9}{4}$。

难度：★★☆☆☆