同济高数 第6章 第6-2-6题

[AI解答]

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（1） 曲线 $\rho=2a\cos\theta$ 是圆心在 $(a,0)$、半径为 $a$ 的圆。
极坐标下面积公式为
$$
S = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 \, d\theta
$$
由于 $\rho=2a\cos\theta$ 在 $\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上封闭一圈，所以
$$
S = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2a\cos\theta)^2 \, d\theta
= \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4a^2 \cos^2\theta \, d\theta
= 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta
$$
利用 $\displaystyle \cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，得
$$
S = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta
= a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta
$$
计算：
$$
= a^2 \left[ \theta + \frac12 \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
= a^2 \left[ \left(\frac{\pi}{2}+0\right) - \left(-\frac{\pi}{2}+0\right) \right]
= a^2 \cdot \pi = \pi a^2
$$
因此面积为 $\pi a^2$。

（2） 曲线 $x=a\cos^3 t,\ y=a\sin^3 t$ 是星形线。
利用参数方程面积公式：
$$
S = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) \, dt
$$
取 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，由对称性，先求第一象限面积再乘以4。
第一象限 $\displaystyle t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，
$$
x'(t) = -3a\cos^2 t \sin t
$$
于是
$$
S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t) \, dt
= -3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt
$$
取绝对值，第一象限面积为
$$
S_1 = 3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt
$$
利用 $\sin^4 t \cos^2 t = \sin^4 t (1-\sin^2 t) = \sin^4 t - \sin^6 t$，
由Wallis公式：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} t \, dt = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}
$$
得
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \, dt = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\cdot1}{4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 t \, dt = \frac{5!!}{6!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32}
$$
因此
$$
S_1 = 3a^2 \left( \frac{3\pi}{16} - \frac{5\pi}{32} \right)
= 3a^2 \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{3\pi a^2}{32}
$$
总面积
$$
S = 4 \cdot \frac{3\pi a^2}{32} = \frac{3\pi a^2}{8}
$$

（3） 曲线 $\rho = 2a(2+\cos\theta)$ 是心脏线的变形（外摆线）。
极坐标面积公式：
$$
S = \frac12 \int_{0}^{2\pi} \rho^2 \, d\theta
= \frac12 \int_{0}^{2\pi} [2a(2+\cos\theta)]^2 \, d\theta
= \frac12 \int_{0}^{2\pi} 4a^2 (2+\cos\theta)^2 \, d\theta
= 2a^2 \int_{0}^{2\pi} (4 + 4\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta
$$
利用 $\displaystyle \cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，
$$
S = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left(4 + 4\cos\theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta
= 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{9}{2} + 4\cos\theta + \frac12 \cos 2\theta \right) d\theta
$$
在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的积分为0，因此
$$
S = 2a^2 \cdot \frac{9}{2} \cdot 2\pi = 18\pi a^2
$$

最终答案：
(1) $\pi a^2$
(2) $\displaystyle \frac{3\pi a^2}{8}$
(3) $18\pi a^2$

难度评级：★★★☆☆