同济高数 第7章 第7-1-1题
📝 题目
1．试说出下列各微分方程的阶数：
（1）$x\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y y^{\prime}+x=0$ ；
（2）$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ ；
（3）$x y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+x^{2} y=0$ ；
（4）$(7 x-6 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=0$ ；
（5）$\displaystyle L \frac{\mathrm{~d}^{2} Q}{\mathrm{~d} t^{2}}+R \frac{\mathrm{~d} Q}{\mathrm{~d} t}+\frac{Q}{C}=0$ ；
（6）$\displaystyle \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+\rho=\sin ^{2} \theta$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
微分方程的阶数是指方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
下面逐一判断：
（1）
方程：$x\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y y^{\prime}+x=0$
最高阶导数是 $y'$，为一阶导数，因此阶数为 1。
（2）
方程：$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$
最高阶导数是 $y''$，为二阶导数，因此阶数为 2。
（3）
方程：$x y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+x^{2} y=0$
最高阶导数是 $y'''$，为三阶导数，因此阶数为 3。
（4）
方程：$(7 x-6 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=0$
这是微分形式，可改写为：
$(7x - 6y) + (x+y) \displaystyle{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} = 0$
最高阶导数是 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}}$，为一阶，因此阶数为 1。
（5）
方程：$L \displaystyle{\frac{\mathrm{d}^{2} Q}{\mathrm{d} t^{2}}}+R \displaystyle{\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}}+\frac{Q}{C}=0$
最高阶导数是 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^{2} Q}{\mathrm{d} t^{2}}}$，为二阶，因此阶数为 2。
（6）
方程：$\displaystyle{\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}}+\rho=\sin ^{2} \theta$
最高阶导数是 $\displaystyle{\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}}$，为一阶，因此阶数为 1。
最终答案：
（1）1阶
（2）2阶
（3）3阶
（4）1阶
（5）2阶
（6）1阶
难度：★☆☆☆☆