同济高数 第7章 第7-1-3题

[AI解答]

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（1）
给定二元方程
$$
x^{2} - x y + y^{2} = C
$$
两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）：
$$
\frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = 0
$$
即
$$
2x - (y + x y') + 2y y' = 0
$$
整理得
$$
2x - y - x y' + 2y y' = 0
$$
将含 $y'$ 的项移到一边：
$$
- x y' + 2y y' = y - 2x
$$
即
$$
y'(2y - x) = y - 2x
$$
两边同时乘以 $-1$ 得
$$
y'(x - 2y) = 2x - y
$$
这正是所给微分方程，故验证成立。

（2）
给定隐函数关系
$$
y = \ln(x y)
$$
即
$$
e^{y} = x y
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
e^{y} y' = y + x y'
$$
代入 $e^{y} = x y$ 得
$$
x y \cdot y' = y + x y'
$$
整理：
$$
x y y' - x y' = y
$$
即
$$
x y'(y - 1) = y
$$
所以
$$
y' = \frac{y}{x(y - 1)}
$$
再对 $x$ 求导：
$$
y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{y}{x(y-1)} \right)
$$
使用商法则，记 $u = y$，$v = x(y-1)$，则
$$
u' = y',\quad v' = (y-1) + x y'
$$
于是
$$
y'' = \frac{y' \cdot x(y-1) - y \cdot \left[(y-1) + x y'\right]}{x^{2}(y-1)^{2}}
$$
分子化简：
$$
y' x (y-1) - y(y-1) - x y y'
$$
注意 $y' x (y-1) - x y y' = x y' (y-1 - y) = -x y'$
所以分子为
$$
- x y' - y(y-1)
$$
因此
$$
y'' = \frac{- x y' - y(y-1)}{x^{2}(y-1)^{2}}
$$
现在验证所给微分方程：
$$
(xy - x) y'' + x y'^{2} + y y' - 2 y' = 0
$$
注意 $xy - x = x(y-1)$，代入 $y''$：
第一项：
$$
x(y-1) \cdot \frac{- x y' - y(y-1)}{x^{2}(y-1)^{2}} = \frac{- x y' - y(y-1)}{x (y-1)}
$$
第二项：$x y'^{2}$
第三项：$y y'$
第四项：$-2 y'$

将第一项拆开：
$$
\frac{- x y'}{x(y-1)} + \frac{- y(y-1)}{x(y-1)} = -\frac{y'}{y-1} - \frac{y}{x}
$$
于是总和为：
$$
-\frac{y'}{y-1} - \frac{y}{x} + x y'^{2} + y y' - 2 y' = 0
$$
利用前面求得的 $y' = \frac{y}{x(y-1)}$，代入化简：
先计算 $x y'^{2} = x \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}(y-1)^{2}} = \frac{y^{2}}{x (y-1)^{2}}$
而 $y y' = \frac{y^{2}}{x(y-1)}$
以及 $- \frac{y'}{y-1} = -\frac{y}{x(y-1)^{2}}$
还有 $-2y' = -\frac{2y}{x(y-1)}$

将所有项合并，公分母取 $x (y-1)^{2}$：
第一项：$-\frac{y}{x(y-1)^{2}}$
第二项：$-\frac{y}{x} = -\frac{y(y-1)^{2}}{x (y-1)^{2}}$
第三项：$\frac{y^{2}}{x (y-1)^{2}}$
第四项：$\frac{y^{2}}{x(y-1)} = \frac{y^{2}(y-1)}{x (y-1)^{2}}$
第五项：$-\frac{2y}{x(y-1)} = -\frac{2y(y-1)}{x (y-1)^{2}}$

分子求和：
$$
- y - y(y-1)^{2} + y^{2} + y^{2}(y-1) - 2y(y-1)
$$
展开各项：
$-y(y-1)^{2} = -y(y^{2} - 2y + 1) = -y^{3} + 2y^{2} - y$
$y^{2}(y-1) = y^{3} - y^{2}$
$-2y(y-1) = -2y^{2} + 2y$

现在合并：
常数项与一次项：$-y$（来自第一项） $+ (-y)$（来自展开） $+ 2y$（来自最后一项） = 0
二次项：$2y^{2} - y^{2} - 2y^{2} = -y^{2}$
三次项：$-y^{3} + y^{3} = 0$
再加上第二项的 $-y(y-1)^{2}$ 展开已计入，还有第一项的 $-y$ 已计入，还有第二项原本的 $-y$？注意我们第一项是 $-y$，第二项展开贡献 $-y$，所以总的一次项为 $-2y$，再加上最后的 $+2y$ 得 0。
二次项：从第二项展开得 $+2y^{2}$，第三项 $+ y^{2}$，第四项 $- y^{2}$，第五项 $-2y^{2}$，总和为 $0$。
三次项抵消为0。
因此分子为0，整个表达式为0，验证成立。

难度评级：★★★☆☆
（涉及隐函数求导、二阶导计算及较繁琐的代数化简，需要细心，但方法常规。）