同济高数 第7章 第7-1-5题

[AI解答]

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**（1）曲线在点 $(x, y)$ 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方**

由导数的几何意义，曲线在点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$。
根据题意，有
$$
\frac{dy}{dx} = x^2
$$
这就是所求的微分方程。

**（2）曲线上点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$，且线段 $PQ$ 被 $y$ 轴平分**

曲线在点 $P(x, y)$ 处的法线斜率为 $\displaystyle{-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$（当 $\frac{dy}{dx} \neq 0$）。
法线方程：
$$
Y - y = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}}(X - x)
$$
令 $Y = 0$，得法线与 $x$ 轴交点 $Q$ 的横坐标：
$$
0 - y = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}}(X_Q - x) \quad\Rightarrow\quad X_Q = x + y\frac{dy}{dx}
$$
所以 $Q$ 坐标为 $\displaystyle{\left(x + y\frac{dy}{dx},\, 0\right)}$。

已知线段 $PQ$ 被 $y$ 轴平分，即 $y$ 轴是 $P$ 与 $Q$ 连线的中点所在的竖直线，因此 $P$ 与 $Q$ 的横坐标之和为 $0$：
$$
x + \left(x + y\frac{dy}{dx}\right) = 0
$$
化简得
$$
2x + y\frac{dy}{dx} = 0
$$
即
$$
y\frac{dy}{dx} = -2x
$$
这就是所求的微分方程。

**（3）曲线上点 $P(x, y)$ 处的切线与 $y$ 轴的交点为 $Q$，线段 $PQ$ 的长度为 $a$，且曲线通过点 $(a, 0)$**

曲线在点 $P(x, y)$ 处的切线斜率为 $\displaystyle{\frac{dy}{dx}}$，切线方程为
$$
Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)
$$
令 $X = 0$，得切线与 $y$ 轴交点 $Q$ 的纵坐标：
$$
Y_Q = y - x\frac{dy}{dx}
$$
所以 $Q$ 坐标为 $\displaystyle{\left(0,\, y - x\frac{dy}{dx}\right)}$。

线段 $PQ$ 的长度为
$$
\sqrt{(x - 0)^2 + \left(y - \left(y - x\frac{dy}{dx}\right)\right)^2} = \sqrt{x^2 + \left(x\frac{dy}{dx}\right)^2}
$$
由题意，此长度等于 $a$：
$$
\sqrt{x^2 + x^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = a
$$
即
$$
|x|\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = a
$$
通常写作
$$
x^2\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right] = a^2
$$
且曲线通过点 $(a, 0)$，即初始条件为 $y(a) = 0$。

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难度评级：★★☆☆☆