同济高数 第7章 第7-1-7题
📝 题目
7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积 $A$ 成正比，比例系数 $k\gt 0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为 $r_{0}$ 的雪堆在开始融化的 3 h 内，融化了其体积的 $\displaystyle \frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少时间？
💡 答案解析
[AI解答]
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分析
雪堆始终保持半球体形状，设时刻 $t$ 时半径为 $r(t)$，则半球体积
$$
V(t) = \frac{2}{3}\pi r^3(t)
$$
半球面面积（不包括底面，因为是雪堆放在地上，只考虑暴露的曲面）
$$
A(t) = 2\pi r^2(t)
$$
题设体积融化率与面积成正比，即
$$
\frac{dV}{dt} = -k A(t),\quad k>0
$$
负号表示体积减少。
建立微分方程
代入 $V$ 和 $A$ 的表达式：
$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right) = -k \cdot 2\pi r^2
$$
左边求导：
$$
\frac{2}{3}\pi \cdot 3r^2 \frac{dr}{dt} = 2\pi r^2 \frac{dr}{dt}
$$
因此方程化为：
$$
2\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -2\pi k r^2
$$
当 $r>0$ 时，两边约去 $2\pi r^2$，得到：
$$
\frac{dr}{dt} = -k
$$
这是一个极其简单的结论：半径以恒定速率减小。
**利用已知条件确定 $k$**
初始时刻 $t=0$，半径 $r(0)=r_0$。
由 $\displaystyle\frac{dr}{dt} = -k$ 得：
$$
r(t) = r_0 - kt
$$
体积：
$$
V(t) = \frac{2}{3}\pi (r_0 - kt)^3
$$
已知3小时内融化了体积的 $\frac{7}{8}$，即剩余体积为初始体积的 $\frac{1}{8}$：
$$
V(3) = \frac{1}{8} V(0)
$$
代入：
$$
\frac{2}{3}\pi (r_0 - 3k)^3 = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}\pi r_0^3
$$
约去 $\frac{2}{3}\pi$：
$$
(r_0 - 3k)^3 = \frac{1}{8} r_0^3
$$
两边开立方（取正根）：
$$
r_0 - 3k = \frac{1}{2} r_0
$$
解得：
$$
3k = \frac{1}{2} r_0 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{r_0}{6}
$$
求全部融化时间
全部融化时 $r(T)=0$，即：
$$
r_0 - kT = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{r_0}{k}
$$
代入 $k = \frac{r_0}{6}$：
$$
T = \frac{r_0}{r_0/6} = 6 \text{ h}
$$
答案
雪堆全部融化需要 6 小时。
难度：★★☆☆☆