同济高数 第7章 第7-2-6题
📝 题目
6．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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设曲线方程为 $y = y(x)$，其上任意一点为 $P(x, y)$，过该点的切线方程为
$$
Y - y = y'(x)(X - x).
$$
该切线与 $x$ 轴交点为 $A$，与 $y$ 轴交点为 $B$。
令 $Y = 0$，得
$$
0 - y = y'(x)(X - x) \quad\Rightarrow\quad X = x - \frac{y}{y'(x)}.
$$
所以 $A\left(x - \dfrac{y}{y'(x)},\,0\right)$。
令 $X = 0$，得
$$
Y - y = y'(x)(0 - x) \quad\Rightarrow\quad Y = y - x\,y'(x).
$$
所以 $B\left(0,\, y - x\,y'(x)\right)$。
已知切点 $P(x, y)$ 平分线段 $AB$，即 $P$ 是 $A$ 与 $B$ 的中点。
由中点坐标公式：
$$
x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y = \frac{y_A + y_B}{2}.
$$
代入坐标：
$$
x = \frac{\left(x - \frac{y}{y'}\right) + 0}{2}, \quad y = \frac{0 + \left(y - x y'\right)}{2}.
$$
由第一个方程：
$$
x = \frac{1}{2}\left(x - \frac{y}{y'}\right) \quad\Rightarrow\quad 2x = x - \frac{y}{y'} \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{y}{y'}.
$$
即
$$
y' = -\frac{y}{x}.
$$
由第二个方程：
$$
y = \frac{1}{2}\left(y - x y'\right) \quad\Rightarrow\quad 2y = y - x y' \quad\Rightarrow\quad y = -x y'.
$$
同样得到
$$
y' = -\frac{y}{x}.
$$
所以微分方程为
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.
$$
分离变量：
$$
\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}.
$$
积分得
$$
\ln|y| = -\ln|x| + C \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \ln\left|\frac{1}{x}\right| + C.
$$
即
$$
|y| = \frac{e^C}{|x|} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{k}{x},
$$
其中 $k = \pm e^C$ 为常数。
曲线经过点 $(2,3)$，代入得
$$
3 = \frac{k}{2} \quad\Rightarrow\quad k = 6.
$$
因此曲线方程为
$$
\boxed{y = \frac{6}{x}}.
$$
难度：★★☆☆☆