新讲 第5章 原函数与不定积分 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 求 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}}$ .

💡 答案解析

解 因为 ${x}^{3} + 1 = \left( {x + 1}\right) \left( {{x}^{2} - x + 1}\right)$ ,所以可设

$$
\int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}} = \frac{a{x}^{2} + {bx} + c}{{x}^{3} + 1} + \alpha \ln \left| {x + 1}\right|
$$

$$
+ \beta \ln \left( {{x}^{2} - x + 1}\right)
$$

$$
+ \frac{2\gamma }{\sqrt{3}}\arctan \frac{{2x} - 1}{\sqrt{3}} + C.
$$

上式两边求导得

$$
\frac{1}{{\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}} = \frac{\left( {{2ax} + b}\right) \left( {{x}^{3} + 1}\right) - 3{x}^{2}\left( {a{x}^{2} + {bx} + c}\right) }{{\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}}
$$

$$
+ \frac{\alpha }{x + 1} + \beta \frac{{2x} - 1}{{x}^{2} - x + 1} + \frac{\gamma }{{x}^{2} - x + 1}.
$$

以 ${\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}$ 乘上式两边得

$$
1 = \left( {{2ax} + b}\right) \left( {{x}^{3} + 1}\right) - 3{x}^{2}\left( {a{x}^{2} + {bx} + c}\right)
$$

$$
+ \alpha \left( {{x}^{3} + 1}\right) \left( {{x}^{2} - x + 1}\right) + \beta \left( {{2x} - 1}\right) \left( {{x}^{3} + 1}\right) \left( {x + 1}\right)
$$

$$
+ \gamma \left( {{x}^{3} + 1}\right) \left( {x + 1}\right) \text{ . }
$$

比较系数得:

$$
\begin{array}{l} {x}^{5} + 1 = 0, \\ {x}^{4} + 2 = 0, \\ {x}^{3} + 3 = 1, \\ {x}^{2} + 2 = 0, \\ 1 = 0, \\ \end{array}
$$

解该方程组得

$$
a = 0,\;b = \frac{1}{3},\;c = 0,
$$

$$
\alpha = \frac{2}{9},\;\beta = - \frac{1}{9},\;\gamma = \frac{1}{3}.
$$

于是, 我们求得

$$
\int \frac{\mathrm{d}x}{{\left( {x}^{3} + 1\right) }^{2}} = \frac{x}{3\left( {{x}^{3} + 1}\right) } + \frac{1}{9}\ln \frac{{\left( x + 1\right) }^{2}}{{x}^{2} - x + 1}
$$

$$
+ \frac{2}{3\sqrt{3}}\arctan \frac{{2x} - 1}{\sqrt{3}} + C.
$$

我们对有理分式的积分法做一小结. 任何有理分式都可写成整式与既约真分式之和. 为了积分既约真分式, 可以利用待定系数法将其写成简单分式之和. 简单分式的积分是我们已经知道的. 对某些情形,还可以采取灵活变通的办法做简单分式分解,并结合其他手段计算积分.

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分解分母并设定待定形式
将分母 x^3+1 分解为 (x+1)(x^2-x+1)，并假设积分结果具有形式：∫ dx/(x^3+1)^2 = (ax^2+bx+c)/(x^3+1) + α ln|x+1| + β ln(x^2-x+1) + (2γ/√3) arctan((2x-1)/√3) + C。
公式：x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
提示：注意有理函数积分的一般形式：多项式部分 + 部分分式分解后的对数与反正切项。
步骤 2/5
目标：两边求导以确定系数
对假设的等式两边求导，得到：1/(x^3+1)^2 = [(2ax+b)(x^3+1) - 3x^2(ax^2+bx+c)]/(x^3+1)^2 + α/(x+1) + β(2x-1)/(x^2-x+1) + γ/(x^2-x+1)。
公式：d/dx [ (ax^2+bx+c)/(x^3+1) ] = [(2ax+b)(x^3+1) - 3x^2(ax^2+bx+c)]/(x^3+1)^2
提示：求导时注意商法则和链式法则。
步骤 3/5
目标：乘以分母消去分母
两边乘以 (x^3+1)^2 得到：1 = (2ax+b)(x^3+1) - 3x^2(ax^2+bx+c) + α(x^3+1)(x^2-x+1) + β(2x-1)(x^3+1)(x+1) + γ(x^3+1)(x+1)。
公式：乘以 (x^3+1)^2
提示：注意 (x^3+1)^2 与各分母的约简。
步骤 4/5
目标：展开并比较系数
将右边多项式展开，合并同类项，然后比较两边同次幂系数，得到方程组：x^5: 0 = 0; x^4: 0 = 0; x^3: 0 = 1; x^2: 0 = 0; x^1: 0 = 0; 常数项: 1 = 0。实际上正确的方程组应为：x^5: α+β=0; x^4: -α+β+γ=0; x^3: a+α-β+γ=0; x^2: 2a+b-α-β-γ=0; x^1: a+2b-3c+α+β+γ=0; 常数: b+α+γ=1。解之得 a=0, b=1/3, c=0, α=2/9, β=-1/9, γ=1/3。
公式：比较系数法
提示：展开时仔细计算，避免遗漏项。
步骤 5/5
目标：代入系数得到积分结果
将求得的系数代入假设形式，并化简：∫ dx/(x^3+1)^2 = x/(3(x^3+1)) + (1/9) ln((x+1)^2/(x^2-x+1)) + (2/(3√3)) arctan((2x-1)/√3) + C。
公式：最终表达式
提示：注意对数项的合并：α ln|x+1| + β ln(x^2-x+1) = (1/9) ln((x+1)^2/(x^2-x+1))。

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