新讲 第7章 微分方程初步 第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设跳伞员受到与速度大小成正比的空气阻力, 我们来考察他的下降速度 $v$ 的变化规律. 根据牛顿第二定律,我们得到运动方程

$$
m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} = {mg} - {kv},
$$

即

$$
\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}v = g.
$$

用 ${\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}$ 乘方程两边得

$$
{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} + \frac{k}{m}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t},
$$

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v}\right) = g{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}
$$

$$
{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t}v = \frac{mg}{k}{\mathrm{e}}^{\frac{k}{m}t} + C,
$$

$$
v = \frac{mg}{k} + C{\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}
$$

如果在时刻 $t = 0$ 跳伞员的初始速度为 0,那么就应有

$$
0 = \frac{mg}{k} + C,
$$

$$
C = - \frac{mg}{k}.
$$

跳伞员的下降速度的变化规律为

$$
v = \frac{mg}{k}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{k}{m}t}}\right) .
$$

我们看到, 与自由落体的运动不同, 跳伞员的速度不会无限增大, 而是逐渐趋于一个终极速度 ${mg}/k$ .

自然界有一些量, 它的减少速度正比于该量本身的数值. 这样的量 $x$ 应满足以下的微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - {kx},
$$

即

$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} + {kx} = 0.
$$

💡 答案解析

解这个微分方程得到

$$
x = C{\mathrm{e}}^{-{kt}}.
$$

设 $t = 0$ 时 $x$ 的值为 ${x}_{0}$ ,则有 $C = {x}_{0}$ ,量 $x$ 的变化规律为

$$
x = {x}_{0}{\mathrm{e}}^{-{kt}}.
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：建立运动方程
根据牛顿第二定律，跳伞员受到重力 mg 和与速度成正比的空气阻力 kv，合力为 mg - kv，得到运动方程 m dv/dt = mg - kv。
公式：m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = mg - kv
提示：注意阻力方向与速度相反，所以是减号。
步骤 2/7
目标：化为标准一阶线性微分方程
将方程两边除以 m，并移项得到 dv/dt + (k/m)v = g。
公式：\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m}v = g
提示：这是标准的一阶线性非齐次微分方程形式。
步骤 3/7
目标：积分因子法求解
计算积分因子 μ(t) = e^{∫(k/m) dt} = e^{(k/m)t}，乘以方程两边，得到 d/dt(e^{(k/m)t} v) = g e^{(k/m)t}。
公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( e^{\frac{k}{m}t} v \right) = g e^{\frac{k}{m}t}
提示：积分因子法适用于一阶线性微分方程。
步骤 4/7
目标：积分求通解
两边积分得 e^{(k/m)t} v = (mg/k) e^{(k/m)t} + C，所以 v = mg/k + C e^{-(k/m)t}。
公式：v = \frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m}t}
提示：积分时注意常数 C 的确定。
步骤 5/7
目标：代入初始条件求特解
当 t=0 时 v=0，代入得 0 = mg/k + C，所以 C = -mg/k。因此 v = (mg/k)(1 - e^{-(k/m)t})。
公式：v = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)
提示：初始速度为零是常见条件。
步骤 6/7
目标：分析速度变化趋势
当 t→∞ 时，e^{-(k/m)t}→0，所以 v→mg/k，即终极速度。跳伞员速度不会无限增大，而是趋于一个常数。
公式：\lim_{t\to\infty} v = \frac{mg}{k}
提示：终极速度是重力与阻力平衡时的速度。
步骤 7/7
目标：类比：自然衰减模型
对于量 x 满足 dx/dt = -kx，即 dx/dt + kx = 0，解为 x = C e^{-kt}。若初始 x(0)=x0，则 C=x0，所以 x = x0 e^{-kt}。
公式：x = x_0 e^{-kt}
提示：这是指数衰减模型，常见于放射性衰变等。

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