新讲 第10章 广义积分 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 考察积分

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x
$$

判断这积分是否收敛, 是否绝对收敛.

💡 答案解析

解 因为

(1)当 $\displaystyle{x \rightarrow + \infty}$ 时,函数 $f\left( x\right) = \frac{1}{x}$ 单调下降趋于 0,

(2)函数 $g\left( x\right) = \sin x$ 满足

$$
\left| {{\int }_{1}^{H}\sin x\mathrm{\;d}x}\right| \leq 2,\;\forall H \geq 1,
$$

所以积分

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x
$$

收敛.

另一方面, 我们有

$$
\left| \frac{\sin x}{x}\right| \geq \frac{{\sin }^{2}x}{x} = \frac{1}{2x} - \frac{\cos {2x}}{2x},
$$

通过类似的讨论 (用狄利克雷判别法), 可以断定积分

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {2x}}{2x}\mathrm{\;d}x
$$

收敛. 但已知以下积分发散于 $\displaystyle{+ \infty}$ :

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{2x} = + \infty .
$$

所以积分

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\left( {\frac{1}{2x} - \frac{\cos {2x}}{2x}}\right) \mathrm{d}x
$$

也发散. 由此得知: 积分

$$
{\int }_{1}^{+\infty }\left| \frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d}x
$$

发散.

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：判断积分是否收敛
应用狄利克雷判别法：函数 f(x)=1/x 在 [1,+∞) 上单调递减且趋于0，函数 g(x)=sinx 的积分 ∫_1^H sinx dx 有界（|∫_1^H sinx dx| ≤ 2），因此积分 ∫_1^+∞ sinx/x dx 收敛。
公式：|∫_1^H sinx dx| ≤ 2, ∀H≥1
提示：注意狄利克雷判别法的条件：一个函数单调趋于0，另一个函数的原函数有界。
步骤 2/2
目标：判断是否绝对收敛
考虑 |sinx/x| ≥ sin^2 x / x = 1/(2x) - cos(2x)/(2x)。通过狄利克雷判别法可知 ∫_1^+∞ cos(2x)/(2x) dx 收敛，而 ∫_1^+∞ 1/(2x) dx 发散于 +∞，因此 ∫_1^+∞ (1/(2x) - cos(2x)/(2x)) dx 发散，从而原积分不绝对收敛。
公式：|sinx/x| ≥ sin^2 x / x = 1/(2x) - cos(2x)/(2x)
提示：利用不等式放缩，将绝对值的积分转化为已知收敛性的积分组合。

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