新讲 第13章 重积分 第4题
📝 题目
例 4 设 $D$ 是第一象限内由双曲线 ${xy} = a,{xy} = b$ 与直线 $y = {px},y = {qx}$ 围成的闭区域 $\left( {0 < a < b,0 < p < q}\right)$ ,试计算
(1) $D$ 的面积 $\sigma \left( D\right)$ ;
(2) $I = {\iint }_{D}\frac{y}{x}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ ;
(3) $J = {\iint }_{D}x{y}^{3}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ .
💡 答案解析
解 闭区域 $D$ 的形状 (参看图 13-10) 提示我们采用变换
$$
\psi : \left\{ \begin{array}{l} u = {xy}, \\ v = \frac{y}{x}. \end{array}\right.
$$
计算雅可比行列式得
$$
\frac{\partial \left( {u,v}\right) }{\partial \left( {x,y}\right) } = \left| \begin{matrix} y & x \\ - \frac{y}{{x}^{2}} & \frac{1}{x} \end{matrix}\right| = \frac{2y}{x} = {2v},
$$
$$
\frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) } = \frac{1}{2v}.
$$
利用变元替换公式, 我们得到
$$
\sigma \left( D\right) = {\iint }_{D}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}\frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v
$$
$$
= \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \ln \frac{q}{p},
$$
$$
I = {\iint }_{D}\frac{y}{x}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}v \cdot \frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v
$$
$$
= \frac{1}{2}\left( {b - a}\right) \left( {q - p}\right) ,
$$
$$
J = {\iint }_{D}x{y}^{3}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)
$$
$$
= {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}u{\int }_{p}^{q}{u}^{2}v \cdot \frac{1}{2v}\mathrm{\;d}v
$$
$$
= \frac{1}{6}\left( {{b}^{3} - {a}^{3}}\right) \left( {q - p}\right) .
$$
\begin{center}
\includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/064.jpg}
\end{center}
\hspace*{3em}
图 13-10
注记 利用变元替换计算面积的公式为
$$
\sigma \left( D\right) = {\iint }_{E}\left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v.
$$
我们把
$$
\left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v
$$
叫作曲线坐标下的面积元. 下面, 我们来说明它的几何意义.
首先指出这样一个简单事实: 以两向量
$$
{\mathbf{\alpha }}_{1} = \left( {{\xi }_{1},{\eta }_{1}}\right) \text{ 和 }{\mathbf{\alpha }}_{2} = \left( {{\xi }_{2},{\eta }_{2}}\right)
$$
为相邻两边的平行四边形, 其面积为
$$
\left| {{\mathbf{\alpha }}_{1} \times {\mathbf{\alpha }}_{2}}\right| = \left| \begin{array}{ll} {\xi }_{1} & {\eta }_{1} \\ {\xi }_{2} & {\eta }_{2} \end{array}\right|
$$
的绝对值. 其次,如果用平行于 ${OX}$ 轴和 ${OY}$ 轴的两族直线分割闭区域 $D$ ,那么边长为 ${\Delta x}$ 和 ${\Delta y}$ 的微小矩形的面积应为 ${\Delta x\Delta y}$ . 我们把
$$
\mathrm{d}x\mathrm{\;d}y = {\Delta x\Delta y}
$$
叫作直角坐标系中的面积元.
现在, 假设我们用两族曲线
$$
u\left( {x,y}\right) = \text{ const }\;\text{ 和 }\;v\left( {x,y}\right) = \text{ const }
$$
来分割闭区域 $D$ . 这里要求映射
$$
\psi : \left\{ \begin{array}{l} u = u\left( {x,y}\right) , \\ v = v\left( {x,y}\right) \end{array}\right.
$$
在包含 $D$ 的一个开集 $V$ 上是连续可微的,并且满足以下条件
$\left( {1}^{\prime }\right) \det \mathrm{D}\psi \left( {x,y}\right) \neq 0,\forall \left( {x,y}\right) \in V$ ;
$\left( {2}^{\prime }\right) \psi$ 在 $V$ 中是单一的.
这样的两族曲线形成 $V$ 中的曲线坐标网. 我们来考察这曲线坐标网中一个微小的曲线四边形的面积 (参看图 13-11).
\begin{center}
\includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/065.jpg}
\end{center}
\hspace*{3em}
图 13-11
设这曲线四边形为以下四条曲线所围成
$$
u\left( {x,y}\right) = {u}_{0},\;u\left( {x,y}\right) = {u}_{0} + {\Delta u},
$$
$$
v\left( {x,y}\right) = {v}_{0},\;v\left( {x,y}\right) = {v}_{0} + {\Delta v}.
$$
于是, 这曲线四边形的四个顶点分别为
$$
\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0},{v}_{0}}\right) ,y\left( {{u}_{0},{v}_{0}}\right) }\right) ,
$$
$$
\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0}}\right) ,y\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0}}\right) ,}\right.
$$
$$
\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) ,y\left( {{u}_{0},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) }\right) ,
$$
$$
\left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right) = \left( {x\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) ,y\left( {{u}_{0} + {\Delta u},{v}_{0} + {\Delta v}}\right) }\right) .
$$
对于充分小的 ${\Delta u} > 0$ 和 ${\Delta v} > 0$ ,可以认为
$$
{x}_{1} - {x}_{0} \approx \frac{\partial x}{\partial u}{\Delta u},\;{y}_{1} - {y}_{0} \approx \frac{\partial y}{\partial u}{\Delta u},
$$
$$
{x}_{2} - {x}_{0} \approx \frac{\partial x}{\partial v}{\Delta v},\;{y}_{2} - {y}_{0} \approx \frac{\partial y}{\partial v}{\Delta v}.
$$
我们可以把这微小的曲线四边形近似地看作一个平行四边形(参看
\begin{center}
\includegraphics[max width=0.2\textwidth]{images/066.jpg}
\end{center}
\hspace*{3em}
图 13-12
图 13-12), 它以向量
$$
\mathbf{a} = \left( {\frac{\partial x}{\partial u}{\Delta u},\frac{\partial y}{\partial u}{\Delta u}}\right)
$$
和
$$
\mathbf{b} = \left( {\frac{\partial x}{\partial v}{\Delta v},\frac{\partial y}{\partial v}{\Delta v}}\right)
$$
为相邻两边. 这平行四边形的面积为
$$
\left| {\mathbf{a} \times \mathbf{b}}\right| = \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| {\Delta u\Delta v}.
$$
我们看到:
$$
\left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| \mathrm{d}u\mathrm{\;d}v = \left| \frac{\partial \left( {x,y}\right) }{\partial \left( {u,v}\right) }\right| {\Delta u\Delta v}
$$
近似地表示了曲线坐标网中一个微小的曲线四边形的面积, 正是因为这个缘故, 人们把它叫作曲线坐标下的面积元.