新讲 第13章 重积分 第7题
📝 题目
例 7 球体 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ 被圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {ax}$ 所割,试计算割下那部分立体的体积 $V$ . [17 世纪意大利数学家维维安尼 (Vivi-ani) 曾提出过类似的问题. 所以该立体又被称为维维安尼立体. ]
💡 答案解析
解 利用对称性 (参看图 13-14), 所求的体积可以表示为
$$
V = 4{\iint }_{D}\sqrt{{a}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right) ,
$$
\begin{center}
\includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/068.jpg}
\end{center}
\hspace*{3em}
图 13-14
其中的 $D$ 是 ${OXY}$ 平面上第一象限内的半圆
$$
{x}^{2} + {y}^{2} \leq {ax},\;y \geq 0.
$$
做极坐标变换, 我们得到
$$
V = 4{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{\;d}\theta {\int }_{0}^{a\cos \theta }\sqrt{{a}^{2} - {r}^{2}}r\mathrm{\;d}r
$$
$$
= \frac{4}{3}{a}^{3}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( {1 - {\sin }^{3}\theta }\right) \mathrm{d}\theta
$$
$$
= \frac{4}{3}{a}^{3}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{2}{3}}\right)
$$
$$
= \frac{2}{3}\pi {a}^{3} - \frac{8}{9}{a}^{3}.
$$