新讲 第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 试计算积分

$$
K = {\iint }_{S}z\mathrm{\;d}\sigma
$$

这里 $S$ 是一段螺旋面:

$$
\mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,{bv}}\right) ,
$$

$$
0 \leq u \leq a,0 \leq v \leq {2\pi }.
$$

💡 答案解析

解 直接计算得到

$$
{\mathbf{r}}_{u} = \left( {\cos v,\sin v,0}\right) ,
$$

$$
{\mathbf{r}}_{v} = \left( {-u\sin v,u\cos v,b}\right) ,
$$

$$
E = {\begin{Vmatrix}{\mathbf{r}}_{u}\end{Vmatrix}}^{2} = 1,
$$

$$
F = \left( {{\mathbf{r}}_{u},{\mathbf{r}}_{v}}\right) = 0,
$$

$$
G = {\begin{Vmatrix}{\mathbf{r}}_{v}\end{Vmatrix}}^{2} = {u}^{2} + {b}^{2},
$$

$$
\sqrt{{EG} - {F}^{2}} = \sqrt{{u}^{2} + {b}^{2}}.
$$

因而

$$
K = {\iint }_{\begin{matrix} {0 \leq u \leq a} \\ {0 \leq v \leq {2\pi }} \end{matrix}}{bv}\sqrt{{u}^{2} + {b}^{2}}\mathrm{\;d}u\mathrm{\;d}v
$$

$$
= {\pi }^{2}b\left( {a\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} + {b}^{2}\ln \frac{a + \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}{b}}\right) .
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算曲面的第一基本形式
由参数方程 r(u,v) = (u cos v, u sin v, b v)，计算偏导数 r_u = (cos v, sin v, 0)，r_v = (-u sin v, u cos v, b)。然后计算第一基本量 E = ||r_u||^2 = 1，F = r_u·r_v = 0，G = ||r_v||^2 = u^2 + b^2。于是面积元 dσ = √(EG - F^2) du dv = √(u^2 + b^2) du dv。
公式：E = ||r_u||^2, F = r_u·r_v, G = ||r_v||^2, dσ = √(EG - F^2) du dv
提示：注意 F=0 表明参数曲线正交，简化计算。
步骤 2/3
目标：将曲面积分化为二重积分
被积函数 z = b v，面积元 dσ = √(u^2 + b^2) du dv，积分区域为 u∈[0,a], v∈[0,2π]。因此 K = ∫_{v=0}^{2π} ∫_{u=0}^{a} b v √(u^2 + b^2) du dv。
公式：K = ∫∫ b v √(u^2 + b^2) du dv
提示：注意积分区域是矩形，可分离变量。
步骤 3/3
目标：计算二重积分
先对 u 积分：∫_0^a √(u^2 + b^2) du = (1/2)[u√(u^2+b^2) + b^2 ln(u+√(u^2+b^2))]_0^a = (1/2)[a√(a^2+b^2) + b^2 ln(a+√(a^2+b^2)) - b^2 ln b]。再对 v 积分：∫_0^{2π} b v dv = b * (1/2)(2π)^2 = 2π^2 b。相乘得 K = 2π^2 b * (1/2)[a√(a^2+b^2) + b^2 ln((a+√(a^2+b^2))/b)] = π^2 b [a√(a^2+b^2) + b^2 ln((a+√(a^2+b^2))/b)]。
公式：∫√(u^2+b^2) du = (1/2)[u√(u^2+b^2) + b^2 ln(u+√(u^2+b^2))] + C
提示：注意积分限代入时 ln 项合并。

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