新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第5题
📝 题目
例 5 试计算与上例类似的积分
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J = \frac{1}{3}{\iint }_{\Gamma }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y,
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这里 $\Gamma$ 是如下的长方体的表面,约定以外侧为正侧:
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\left| x\right| \leq a,\;\left| y\right| \leq b,\;\left| z\right| \leq c.
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💡 答案解析
解 长方体的外表面 $\Gamma$ 由六块侧面 ${\Gamma }_{1},{\Gamma }_{2},\cdots ,{\Gamma }_{6}$ 拼接而成,这里
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{\Gamma }_{1} : x = a,\left| y\right| \leq b,\left| z\right| \leq c,
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{\Gamma }_{2} : x = - a,\left| y\right| \leq b,\left| z\right| \leq c,
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{\Gamma }_{3} : \left| x\right| \leq a,y = b,\left| z\right| \leq c,
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{\Gamma }_{4} : \left| x\right| \leq a,y = - b,\left| z\right| \leq c,
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{\Gamma }_{5} : \left| x\right| \leq a,\left| y\right| \leq b,z = c,
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$$
{\Gamma }_{6} : \left| x\right| \leq a,\left| y\right| \leq b,z = - c.
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在侧面 ${\Gamma }_{1}$ 上, $\mathbf{n} = \left( {1,0,0}\right) ,x = a$ ,因而
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\frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{1}}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y
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= \frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{1}}a\mathrm{\;d}\sigma = \frac{4}{3}{abc}.
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同样可得
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\frac{1}{3}{\iint }_{{\Gamma }_{i}}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y
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= \frac{4}{3}{abc},i = 2,3,\cdots ,6.
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最后, 我们得到
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J = 6 \times \frac{4}{3}{abc} = {8abc}.
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