新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第10题
📝 题目
例 10 设 $\Delta$ 是以 $\left( {1,0,0}\right) ,\left( {0,1,0}\right)$ 和(0,0,1)为顶点的三角形面的上侧, 试计算
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I = {\iint }_{\Delta }x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + y\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y,
$$
$$
J = {\iint }_{\Delta }{x}^{2}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + {y}^{2}\mathrm{\;d}z\mathrm{\;d}x + {z}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y.
$$
💡 答案解析
解 曲面 $\Delta$ 可以用显式方程表示为
$$
z = 1 - x - y,\;\left( {x,y}\right) \in D,
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这里
$$
D = \{ \left( {x,y}\right) \mid x,y \geq 0,x + y \leq 1\} .
$$
计算偏导数得
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p = \frac{\partial z}{\partial x} = - 1,
$$
$$
q = \frac{\partial z}{\partial y} = - 1
$$
于是得到
$$
I = {\iint }_{D}\left\lbrack {-{xp} - {yq} + \left( {1 - x - y}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y
$$
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= {\iint }_{D}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y = \frac{1}{2}.
$$
用同样办法可以计算 $J$ :
$$
J = {\iint }_{D}\left\lbrack {{x}^{2} + {y}^{2} + {\left( 1 - x - y\right) }^{2}}\right\rbrack \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y
$$
$$
= \frac{1}{4}\text{ . }
$$