新讲 第16章 第二型曲线积分与 第二型曲面积分 第4题

教材习题

📝 题目

例 4 星形线的参数方程为

$$
x = a{\cos }^{3}t,\;y = a{\sin }^{3}t,\;0 \leq t \leq {2\pi }.
$$

试求由星形线所围成的平面图形 $\Omega$ 的面积 (参看图 16-11).

\begin{center}
<img src=\"/static/img/math_analysis/092.jpg\" class=\"math-img\" style=\"max-width:100%;margin:10px 0;\">
\end{center}
\hspace*{3em}

图 16-11

💡 答案解析

解 我们有

$$
\sigma \left( \Omega \right) = \frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{a}\Omega }x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x
$$

$$
= \frac{1}{2}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {a{\cos }^{3}t\left( {{3a}{\sin }^{2}t\cos t}\right) }\right.
$$

$$
\left. {-a{\sin }^{3}t\left( {-{3a}{\cos }^{2}t\sin t}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}t
$$

$$
= \frac{3{a}^{2}}{2}{\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t\mathrm{\;d}t
$$

$$
= \frac{3{a}^{2}}{8}{\int }_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}{2t}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= \frac{3{a}^{2}}{8}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1 - \cos {4t}}{2}\mathrm{\;d}t
$$

$$
= \frac{3}{8}\pi {a}^{2}.
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：写出面积公式
利用格林公式，平面区域Ω的面积可以用边界曲线上的线积分表示：σ(Ω) = (1/2) ∮_{∂Ω} x dy - y dx。
公式：σ(Ω) = (1/2) ∮_{∂Ω} x dy - y dx
提示：注意积分方向为逆时针，但此处参数t从0到2π对应逆时针方向。
步骤 2/5
目标：代入参数方程
将x = a cos³ t, y = a sin³ t代入，并计算微分：dx = -3a cos² t sin t dt, dy = 3a sin² t cos t dt。
公式：x = a cos³ t, y = a sin³ t; dx = -3a cos² t sin t dt, dy = 3a sin² t cos t dt
提示：注意微分计算要准确，特别是符号。
步骤 3/5
目标：计算被积表达式
计算 x dy - y dx = a cos³ t * (3a sin² t cos t) - a sin³ t * (-3a cos² t sin t) = 3a² cos⁴ t sin² t + 3a² sin⁴ t cos² t = 3a² cos² t sin² t (cos² t + sin² t) = 3a² cos² t sin² t。
公式：x dy - y dx = 3a² cos² t sin² t dt
提示：合并同类项时注意提取公因式。
步骤 4/5
目标：积分计算
面积 σ = (1/2) ∫₀^{2π} 3a² cos² t sin² t dt = (3a²/2) ∫₀^{2π} cos² t sin² t dt。利用倍角公式 sin2t = 2 sin t cos t，则 cos² t sin² t = (1/4) sin² 2t，所以 σ = (3a²/2) * (1/4) ∫₀^{2π} sin² 2t dt = (3a²/8) ∫₀^{2π} sin² 2t dt。
公式：sin² 2t = (1 - cos 4t)/2
提示：利用三角恒等式简化积分。
步骤 5/5
目标：计算定积分
∫₀^{2π} sin² 2t dt = ∫₀^{2π} (1 - cos 4t)/2 dt = (1/2) [∫₀^{2π} 1 dt - ∫₀^{2π} cos 4t dt] = (1/2)[2π - 0] = π。因此 σ = (3a²/8) * π = (3π a²)/8。
公式：∫₀^{2π} cos 4t dt = 0
提示：cos 4t 在一个周期内积分为0。

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