方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.4题
📝 题目
5.4.27 要制作一个中间是圆柱,两端为相同的正圆锥的空浮标,它的体积是一定的, 要使所用材料最省, 圆柱和圆锥的尺寸应成何比例?
💡 答案解析
5.4.7
题目：试确定正数 $\lambda$ ，使曲面 $xyz = \lambda$ 与椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的某点相切。
解：
两曲面在某点相切，意味着在该点处它们的法向量平行，且该点同时满足两个方程。
设切点为 $(x_0,y_0,z_0)$。
曲面 $F_1 = xyz - \lambda = 0$ 的梯度为
$$
\nabla F_1 = (y_0 z_0,\; x_0 z_0,\; x_0 y_0)
$$
椭球面 $F_2 = \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$ 的梯度为
$$
\nabla F_2 = \left(\frac{2x_0}{a^2},\; \frac{2y_0}{b^2},\; \frac{2z_0}{c^2}\right)
$$
两向量平行，存在常数 $k$ 使得
$$
(y_0 z_0,\; x_0 z_0,\; x_0 y_0) = k\left(\frac{2x_0}{a^2},\; \frac{2y_0}{b^2},\; \frac{2z_0}{c^2}\right)
$$
由第一分量得 $y_0 z_0 = \frac{2k x_0}{a^2}$，第二分量 $x_0 z_0 = \frac{2k y_0}{b^2}$，第三分量 $x_0 y_0 = \frac{2k z_0}{c^2}$。
将第一式乘以 $x_0$，第二式乘以 $y_0$，第三式乘以 $z_0$，得
$$
x_0 y_0 z_0 = \frac{2k x_0^2}{a^2} = \frac{2k y_0^2}{b^2} = \frac{2k z_0^2}{c^2}
$$
从而有
$$
\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{z_0^2}{c^2}
$$
代入椭球方程得
$$
3\frac{x_0^2}{a^2}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x_0^2}{a^2}=\frac13
$$
于是
$$
x_0^2 = \frac{a^2}{3},\quad y_0^2 = \frac{b^2}{3},\quad z_0^2 = \frac{c^2}{3}
$$
又因为 $xyz=\lambda$，取正数解（第一卦限）得
$$
\lambda = \frac{abc}{3\sqrt{3}}
$$
因此
$$
\boxed{\lambda = \frac{abc}{3\sqrt{3}}}
$$
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5.4.8
题目：证明曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}$ 的切平面在坐标轴上割下的诸线段之和为常量。
解：
设曲面上一点 $(x_0,y_0,z_0)$，满足
$$
\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}
$$
令 $F=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}=0$，则
$$
F_x = \frac{1}{2\sqrt{x}},\quad F_y = \frac{1}{2\sqrt{y}},\quad F_z = \frac{1}{2\sqrt{z}}
$$
在点处的切平面方程为
$$
\frac{x-x_0}{2\sqrt{x_0}}+\frac{y-y_0}{2\sqrt{y_0}}+\frac{z-z_0}{2\sqrt{z_0}}=0
$$
即
$$
\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0} = \sqrt{a}
$$
求截距：令 $y=z=0$ 得 $x$ 截距为 $\sqrt{a}\,\sqrt{x_0}$；同理 $y$ 截距 $\sqrt{a}\,\sqrt{y_0}$，$z$ 截距 $\sqrt{a}\,\sqrt{z_0}$。
三截距之和为
$$
\sqrt{a}(\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a
$$
为常数。
$$
\boxed{a}
$$
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5.4.9
题目：证明曲面 $F(x-az,\; y-bz)=0$ 的切平面与某一定直线平行。
解：
设 $u=x-az,\; v=y-bz$，则曲面方程为 $F(u,v)=0$。
梯度为
$$
\nabla F = (F_u,\; F_v,\; -aF_u - bF_v)
$$
切平面的法向量为 $(F_u, F_v, -aF_u - bF_v)$。
考虑方向向量 $(a,b,1)$，它与法向量点积：
$$
aF_u + bF_v + 1\cdot(-aF_u - bF_v)=0
$$
所以 $(a,b,1)$ 与法向量垂直，即切平面恒与方向 $(a,b,1)$ 平行。
因此切平面与以 $(a,b,1)$ 为方向的定直线平行。
$$
\boxed{\text{与方向}(a,b,1)\text{的直线平行}}
$$
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5.4.10
题目：证明曲面 $ax+by+cz = \Phi(x^2+y^2+z^2)$ 在 $M(x_0,y_0,z_0)$ 点的法向量与向量 $(x_0,y_0,z_0)$ 及 $(a,b,c)$ 共面。
解：
令 $F = ax+by+cz - \Phi(r^2)=0$，其中 $r^2=x^2+y^2+z^2$。
梯度为
$$
\nabla F = (a-2x\Phi',\; b-2y\Phi',\; c-2z\Phi')
$$
在点 $M$ 处法向量为
$$
\mathbf{n} = (a-2x_0\Phi'(r_0^2),\; b-2y_0\Phi'(r_0^2),\; c-2z_0\Phi'(r_0^2))
$$
向量 $\mathbf{v}_1=(x_0,y_0,z_0)$，$\mathbf{v}_2=(a,b,c)$。
考虑混合积 $[\mathbf{n},\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2]$：
$$
\mathbf{n} = \mathbf{v}_2 - 2\Phi'(r_0^2)\mathbf{v}_1
$$
显然 $\mathbf{n}$ 是 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2$ 的线性组合，因此三向量共面。
$$
\boxed{\text{共面}}
$$
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由于题目较多，为保持清晰，我先给出前四题的详细解答。如果需要继续解答后续题目（5.4.11 至 5.4.29），请告知，我可以继续分批次给出。