方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.5题
📝 题目
0. $$
6.5.7 设 $V,S$ 条件同上, $u,w \in {C}^{2}\left( V\right) ,u$ 是调和函数,且
$$
{\left. \left\lbrack w\left( x,y,z\right) - u\left( x,y,z\right) \right\rbrack \right| }_{s} =
💡 答案解析
通常这类题目的条件是：
设 $V$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的有界区域，$S$ 是其边界，$u,w \in C^2(V)$，$u$ 是调和函数，且在边界 $S$ 上 $w(x,y,z) = u(x,y,z)$，求证在 $V$ 内 $w \equiv u$，或者给出 $w$ 与 $u$ 的关系。
这里我们假设题目意图是：
$$
\left. \big[ w(x,y,z) - u(x,y,z) \big] \right|_{S} = 0
$$
并且 $u$ 调和，$w$ 满足某个条件（比如也是调和函数或满足某个不等式），然后证明 $w \equiv u$。
由于原题不完整，我选择一种最经典的补全方式：
**假设 $w$ 也是调和函数**，则问题变为：两个调和函数在边界上相等，则它们在区域内处处相等。这是调和函数的唯一性定理。
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解答步骤
第一步：明确条件
设 $V \subset \mathbb{R}^3$ 是有界开区域，边界 $S$ 光滑。
已知 $u, w \in C^2(V) \cap C(\overline{V})$，且
1. $u$ 是调和函数，即 $\Delta u = 0$ 在 $V$ 内。
2. 在边界 $S$ 上，$w(x,y,z) = u(x,y,z)$。
3. 额外假设 $w$ 也是调和函数，即 $\Delta w = 0$ 在 $V$ 内。
第二步：构造差值函数
定义函数
$$
v(x,y,z) = w(x,y,z) - u(x,y,z)
$$
则 $v \in C^2(V) \cap C(\overline{V})$。
**第三步：验证 $v$ 是调和函数**
由于拉普拉斯算子是线性的，
$$
\Delta v = \Delta w - \Delta u = 0 - 0 = 0
$$
所以 $v$ 在 $V$ 内也是调和函数。
第四步：边界条件
由已知，在 $S$ 上 $w = u$，因此
$$
v\big|_S = 0
$$
第五步：应用极值原理（最大模原理）
对于非常数的调和函数，它在区域内部的最大值和最小值只能在边界上达到。
$v$ 是调和函数，且在边界上恒为零，因此
- $v$ 在 $\overline{V}$ 上的最大值 $\max_{\overline{V}} v = \max_{S} v = 0$
- $v$ 在 $\overline{V}$ 上的最小值 $\min_{\overline{V}} v = \min_{S} v = 0$
于是对任意 $(x,y,z) \in V$，有
$$
0 \le v(x,y,z) \le 0
$$
从而
$$
v(x,y,z) \equiv 0 \quad \text{在 } V \text{ 内}
$$
第六步：结论
由 $v \equiv 0$ 得 $w(x,y,z) = u(x,y,z)$ 对一切 $(x,y,z) \in V$ 成立。
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关键步骤说明
- 构造差值函数 $v$ 是处理边界值相等问题的标准技巧，将问题转化为边界值为零的调和函数。
- 最大模原理是调和函数的核心性质：非常数调和函数的最值只能在边界达到。这里因为边界值为零，迫使内部值也为零。
- 若 $w$ 不是调和函数，则题目可能需用其他方法（如比较原理或能量积分），但本题典型设定是两者均为调和函数。
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如果原题中 $w$ 满足的是其他条件（比如 $w$ 是上调和或下调和的），请补充完整条件，我可以继续给出对应的解答。