方企勤 第六章 多元函数积分学 第6.6题
📝 题目
6. 6.9 设 $f\left( {x,y,z}\right)$ 是一次齐次函数, $F = \frac{1}{4}f\left( {x,y,z}\right) r$ . 试证:
$$
\operatorname{div}\mathbf{F} = f\left( {x,y,z}\right) .
$$
💡 答案解析
解答：
已知 $f(x,y,z)$ 是一次齐次函数，即对任意实数 $t>0$ 有
$$
f(tx,ty,tz)=t\,f(x,y,z).
$$
并且定义
$$
\mathbf{F} = \frac{1}{4} f(x,y,z)\, \mathbf{r},
$$
其中 $\mathbf{r} = (x,y,z)$，即位置向量。需要证明
$$
\operatorname{div} \mathbf{F} = f(x,y,z).
$$
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步骤 1：写出散度的表达式
设 $\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3)$，则
$$
F_1 = \frac{1}{4} f(x,y,z)\, x,\quad
F_2 = \frac{1}{4} f(x,y,z)\, y,\quad
F_3 = \frac{1}{4} f(x,y,z)\, z.
$$
散度定义为
$$
\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}.
$$
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步骤 2：计算偏导数
先计算 $\frac{\partial F_1}{\partial x}$：
$$
\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{1}{4} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \cdot x + f \cdot 1 \right)
= \frac{1}{4} \left( x \frac{\partial f}{\partial x} + f \right).
$$
类似地，
$$
\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{1}{4} \left( y \frac{\partial f}{\partial y} + f \right),
$$
$$
\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{1}{4} \left( z \frac{\partial f}{\partial z} + f \right).
$$
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步骤 3：求和得到散度
将三个偏导数相加：
$$
\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{4} \left( x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} + 3f \right).
$$
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步骤 4：利用齐次函数的欧拉定理
对于一次齐次函数 $f$，欧拉定理指出：
$$
x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} + z \frac{\partial f}{\partial z} = f(x,y,z).
$$
（说明：因为齐次次数为1，所以左边等于次数乘以函数本身。）
代入上式：
$$
\operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{1}{4} \left( f + 3f \right) = \frac{1}{4} \cdot 4f = f.
$$
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结论：
$$
\boxed{\operatorname{div}\mathbf{F} = f(x,y,z)}.
$$