方企勤第一章分析基础第1题

教材习题

📝 题目

例 1 设 $a \leq c \leq b$ ,求证: $\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .

证法 1

$$
\max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} \geq \left| b\right| \geq b \geq c, \tag{1.1}
$$

$$
- \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} \leq - \left| a\right| \leq a \leq c. \tag{1.2}
$$

联合 (1.1) 与 (1.2) 即得 $\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .

证法 2 分 $c \geq 0$ 和 $c < 0$ 两种情况考虑. 当 $c \geq 0$ 时,

$$
c \leq b \Rightarrow \left| c\right| \leq \left| b\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \} ;
$$

当 $c < 0$ 时, $\displaystyle{0 \leq - c \leq - a \Rightarrow \left| c\right| \leq \left| a\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .

步骤 1/2

目标：证明不等式 |c| ≤ max{|a|,|b|}

证法1：利用不等式链。由c ≤ b，得max{|a|,|b|} ≥ |b| ≥ b ≥ c；由c ≥ a，得-max{|a|,|b|} ≤ -|a| ≤ a ≤ c。联合两式即得|c| ≤ max{|a|,|b|}。

公式：max{|a|,|b|} ≥ |b| ≥ b ≥ c 和 -max{|a|,|b|} ≤ -|a| ≤ a ≤ c

提示：注意绝对值的性质：|b| ≥ b 且 -|a| ≤ a。

步骤 2/2

目标：证法2：分类讨论

当c ≥ 0时，由c ≤ b得|c| = c ≤ b ≤ |b| ≤ max{|a|,|b|}；当c < 0时，由c ≥ a得-c ≤ -a，即|c| = -c ≤ -a ≤ |a| ≤ max{|a|,|b|}。

公式：c ≥ 0时：|c| ≤ |b| ≤ max{|a|,|b|}；c < 0时：|c| ≤ |a| ≤ max{|a|,|b|}

提示：分类讨论时注意c的符号，利用c与a,b的大小关系。

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