方企勤 第一章 分析基础 第3题

教材习题

📝 题目

例 3 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:

$$
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq \left\{ \begin{array}{l} \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} , \\ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . \end{array}\right.
$$

💡 答案解析

证 由下确界定义有

$$
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq f\left( x\right) + g\left( x\right)
$$

$$
\leq f\left( x\right) + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}g\left( x\right) \;\left( {\forall x \in X}\right) .
$$

移项即得

$$
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} - \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \;\left( {\forall x \in X}\right) .
$$

由下确界定义有

$$
\mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} - \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} ,
$$

即得要证的第一式,又因为 $f\left( x\right)$ 与 $g\left( x\right)$ 所处的地位是对称的,故第二式也成立.

评注 解这类问题的一般方法是: 先把三个集合

$$
\{ f\left( x\right) \} ,\{ g\left( x\right) \} ,\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \}
$$

中的两个放大或缩小成上、下确界,即得第三个集合的下界或上界, 从而得到上、下确界.

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：利用下确界定义得到第一个不等式
由下确界定义，对任意 x∈X，有 inf_{x∈X}{f(x)+g(x)} ≤ f(x)+g(x)。
公式：\inf_{x\in X}\{f(x)+g(x)\} \leq f(x)+g(x)
提示：下确界是最小下界，因此小于等于任意函数值。
步骤 2/6
目标：放大 g(x) 为上确界
由于 g(x) ≤ sup_{x∈X}g(x)，所以 f(x)+g(x) ≤ f(x)+sup_{x∈X}g(x)。
公式：f(x)+g(x) \leq f(x)+\sup_{x\in X}g(x)
提示：上确界是最大上界，因此 g(x) 不超过它。
步骤 3/6
目标：合并前两步得到不等式
结合前两步，有 inf_{x∈X}{f(x)+g(x)} ≤ f(x)+sup_{x∈X}g(x) 对任意 x∈X 成立。
公式：\inf_{x\in X}\{f(x)+g(x)\} \leq f(x)+\sup_{x\in X}g(x)
提示：传递性：a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c。
步骤 4/6
目标：移项得到关于 f(x) 的不等式
将上一步不等式移项，得 inf_{x∈X}{f(x)+g(x)} - sup_{x∈X}g(x) ≤ f(x) 对任意 x∈X 成立。
公式：\inf_{x\in X}\{f(x)+g(x)\} - \sup_{x\in X}g(x) \leq f(x)
提示：移项时注意符号。
步骤 5/6
目标：利用下确界定义得到最终第一式
由于左边是常数，且对任意 x 成立，所以它不超过 f(x) 的下确界，即 inf_{x∈X}{f(x)+g(x)} - sup_{x∈X}g(x) ≤ inf_{x∈X}f(x)，移项即得第一式。
公式：\inf_{x\in X}\{f(x)+g(x)\} \leq \inf_{x\in X}f(x) + \sup_{x\in X}g(x)
提示：常数 ≤ 所有 f(x) 则常数 ≤ inf f(x)。
步骤 6/6
目标：由对称性得到第二式
由于 f 和 g 地位对称，交换 f 和 g 的位置即得第二式。
公式：\inf_{x\in X}\{f(x)+g(x)\} \leq \sup_{x\in X}f(x) + \inf_{x\in X}g(x)
提示：对称性：将 f 与 g 互换，第一式变为第二式。

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