方企勤 第三章 一元函数积分学 第11题
📝 题目
例 11 求不定积分 $\displaystyle{\int \frac{1}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案解析
解 注意到
$$
\int \frac{1}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 + x - x}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x
$$
$$
= \int \frac{1}{1 - x + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x - \int \frac{x}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x. \tag{1.4}
$$
设 $\displaystyle{I = \int \frac{1}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x,J = \int \frac{x}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x}$ ,由 (1.4) 式,则有
$$
I + J = \int \frac{1}{1 - x + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
$$
$$
= \frac{2}{3}\sqrt{3}\arctan \frac{2}{3}\sqrt{3}\left( {x - \frac{1}{2}}\right) + C,
$$
$$
I - J = \int \frac{1 - x}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x = \int \frac{1 - x + {x}^{2} - {x}^{2}}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x
$$
$$
= \int \frac{1}{1 + x}\mathrm{\;d}x - \int \frac{{x}^{2}}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x
$$
$$
= \ln \left( {x + 1}\right) - \frac{1}{3}\ln \left( {{x}^{3} + 1}\right) + C,
$$
由此解得
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\int \frac{1}{1 + {x}^{3}}\mathrm{\;d}x = I = \frac{1}{3}\ln \left( {x + 1}\right) - \frac{1}{6}\ln \left( {{\left( x - \frac{1}{2}\right) }^{2} + \frac{3}{4}}\right)
$$
$$
+ \frac{1}{3}\sqrt{3}\arctan \frac{2}{3}\sqrt{3}\left( {x - \frac{1}{2}}\right) + C.
$$
评注 本题虽然只要求计算单个积分 $I$ ,但是在计算过程中又 “冒出”一个新积分 $J$ ,将 $I,J$ 联立计算,要比单独计算 $I$ 简单得多.
\subsubsection{四、分部积分法}