方企勤 第三章 一元函数积分学 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 (1) 假设定积分定义中采用等分的方法,并且 ${\xi }_{k}$ 取中点, 试写出 $f\left( x\right)$ 的黎曼和.

(2)又设 $f\left( x\right)$ 为凹函数,求证: $\displaystyle{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right)$ .

💡 答案解析

解 (1) 将 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack n$ 等分,每一个小区间的长度为 $\frac{b - a}{n}$ ,第 $k$ 个小区间的中点坐标为 $a + \frac{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {b - a}\right) }{2n}\left( {k = 1,2,\cdots ,n}\right)$ . 故

$$
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{b - a}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {a + \frac{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {b - a}\right) }{2n}}\right) . \tag{2.1}
$$

(2)因为 $f\left( x\right)$ 为凹函数,所以

$$
f\left\lbrack {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {a + \frac{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {b - a}\right) }{2n}}\right) }\right\rbrack
$$

$$
\leq \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {a + \frac{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {b - a}\right) }{2n}}\right) .
$$

于是根据极限不等式,由 (2.1) 式推出

$$
{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x \geq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {b - a}\right) f\left\lbrack {\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {a + \frac{\left( {{2k} - 1}\right) \left( {b - a}\right) }{2n}}\right) }\right\rbrack
$$

$$
= \left( {b - a}\right) f\left( {a + \frac{b - a}{2}}\right) = \left( {b - a}\right) f\left( \frac{a + b}{2}\right) .
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：写出定积分定义中采用等分且取中点时的黎曼和表达式
将区间[a,b] n等分，每个小区间长度为(b-a)/n，第k个小区间的中点坐标为a + ((2k-1)(b-a))/(2n)，k=1,2,...,n。因此黎曼和为(b-a)/n * Σ_{k=1}^n f(a + ((2k-1)(b-a))/(2n))，定积分等于该和式的极限。
公式：∫_a^b f(x) dx = lim_{n→∞} (b-a)/n Σ_{k=1}^n f(a + ((2k-1)(b-a))/(2n))
提示：注意中点坐标的推导：第k个小区间为[a+(k-1)Δx, a+kΔx]，其中Δx=(b-a)/n，中点即为左端点加Δx/2。
步骤 2/2
目标：利用凹函数性质证明积分不等式
由于f是凹函数，根据凹函数的Jensen不等式，有f(1/n Σ x_k) ≥ 1/n Σ f(x_k)（注意凹函数不等式方向与凸函数相反）。这里取x_k = a + ((2k-1)(b-a))/(2n)，则1/n Σ x_k = a + (b-a)/2 = (a+b)/2。因此f((a+b)/2) ≥ 1/n Σ f(x_k)。两边乘以(b-a)得(b-a)f((a+b)/2) ≥ (b-a)/n Σ f(x_k)。取极限n→∞，左边为常数，右边极限为∫_a^b f(x) dx，故∫_a^b f(x) dx ≥ (b-a)f((a+b)/2)。
公式：f(1/n Σ x_k) ≥ 1/n Σ f(x_k) (凹函数); 1/n Σ x_k = (a+b)/2
提示：注意凹函数的不等式方向：f(λx+(1-λ)y) ≥ λf(x)+(1-λ)f(y)。本题中λ=1/n。

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