方企勤 第四章 级 数 第15题

教材习题

📝 题目

例 15 若 $q > 0$ ,证明:

$$
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}q{x}_{n} = q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n},\;\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}q{x}_{n} = q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}.
$$

💡 答案解析

证 当 $k \geq n$ 时,由

$$
{x}_{k} \leq \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}{x}_{k} \Rightarrow q{x}_{k} \leq q\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}{x}_{k} \Rightarrow \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k} \leq q\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}{x}_{k};
$$

又当 $k \geq n$ 时,由

$$
q{x}_{k} \leq \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k} \Rightarrow {x}_{k} \leq \frac{1}{q}\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k}
$$

$$
\Rightarrow \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}{x}_{k} \leq \frac{1}{q}\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k}
$$

$$
\Rightarrow q\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k} \leq \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k}.
$$

合起来即得出

$$
q\mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}{x}_{k} = \mathop{\sup }\limits_{{k \geq n}}q{x}_{k}
$$

令 $\displaystyle{n \rightarrow \infty}$ ,即得

$$
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}q{x}_{n} = q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}
$$

$$
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}q{x}_{n} = - \left\lbrack {\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {-q{x}_{n}}\right) }\right\rbrack = - \left\lbrack {q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {-{x}_{n}}\right) }\right\rbrack
$$

$$
= - \left\lbrack {-q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}\right\rbrack = q\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}.
$$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明上确界关系：q sup x_k = sup (q x_k)
首先，对于任意 k ≥ n，有 x_k ≤ sup_{k≥n} x_k，两边乘以 q>0 得 q x_k ≤ q sup_{k≥n} x_k，因此 sup_{k≥n} q x_k ≤ q sup_{k≥n} x_k。其次，由 q x_k ≤ sup_{k≥n} q x_k 得 x_k ≤ (1/q) sup_{k≥n} q x_k，从而 sup_{k≥n} x_k ≤ (1/q) sup_{k≥n} q x_k，即 q sup_{k≥n} x_k ≤ sup_{k≥n} q x_k。结合两个不等式得到 q sup_{k≥n} x_k = sup_{k≥n} q x_k。
公式：q \sup_{k\geq n} x_k = \sup_{k\geq n} q x_k
提示：注意 q>0，乘法不改变不等式方向。
步骤 2/3
目标：取极限得到上极限等式
令 n→∞，由上式得 lim_{n→∞} sup_{k≥n} q x_k = q lim_{n→∞} sup_{k≥n} x_k，即 lim_{n→∞} q x_n = q lim_{n→∞} x_n。
公式：\varlimsup_{n\to\infty} q x_n = q \varlimsup_{n\to\infty} x_n
提示：上极限定义为 sup 的极限。
步骤 3/3
目标：证明下极限等式
利用下极限与上极限的关系：lim_{n→∞} q x_n = - lim_{n→∞} (-q x_n) = - [q lim_{n→∞} (-x_n)] = - [-q lim_{n→∞} x_n] = q lim_{n→∞} x_n。
公式：\varliminf_{n\to\infty} q x_n = q \varliminf_{n\to\infty} x_n
提示：下极限等于负的上极限的相反数。

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