方企勤 第五章 多元函数微分学 第5题
📝 题目
例 5 画出集合 $\Omega = \{ \left( {x,y}\right) \mid 0 < x < y$ $< 1\}$ 的图形.
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图 5.1
💡 答案解析
解 由题意, $\Omega$ 是三个开半平面: $x > 0,x < y,y < 1$ 的交集. 这三个开半平面的边界为直线 $x = 0,x = y,y = 1$ ,所以集合 $\Omega$ 为图 5.1 所示的区域.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解集合定义
集合 Ω 由满足 0 < x < y < 1 的所有点 (x, y) 组成，即 x 大于 0，y 大于 x，且 y 小于 1。
提示：注意不等式是严格不等式，因此边界线是虚线。
步骤 2/4
目标：确定边界直线
三个不等式对应的边界直线分别为：x = 0（y轴），x = y（第一象限角平分线），y = 1（水平线）。
提示：边界直线将平面分成多个区域。
步骤 3/4
目标：确定区域位置
满足 x > 0 的区域在 y 轴右侧；满足 x < y 的区域在直线 x = y 的上方（因为 y > x）；满足 y < 1 的区域在直线 y = 1 的下方。三者的交集即为所求区域。
提示：可以取一个测试点，如 (0.2, 0.5)，验证是否满足所有不等式。
步骤 4/4
目标：绘制图形
在坐标系中画出三条边界直线：x=0（y轴），x=y（过原点的45°线），y=1（水平线）。将满足条件的区域涂色或标记，注意边界用虚线表示开区域。
提示：图形是一个三角形区域，顶点为 (0,0)、(0,1) 和 (1,1)，但边界不包括。
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