方企勤 第一章 分析基础 第1.3题

题目 1.3.13

题目：设序列 $\{x_n\}$ 满足
$$
|x_{n+1} - x_n| \le q |x_n - x_{n-1}| \quad (n=1,2,\cdots)
$$
其中 $0 < q < 1$。求证：序列 $\{x_n\}$ 的极限存在。

证明：

1. 递推估计
由条件，对任意 $n\ge 1$，有
$$
|x_{n+1} - x_n| \le q |x_n - x_{n-1}| \le q^2 |x_{n-1} - x_{n-2}| \le \cdots \le q^n |x_1 - x_0|.
$$
记 $d = |x_1 - x_0|$，则
$$
|x_{n+1} - x_n| \le d\, q^n.
$$

2. 证明是柯西序列
对任意 $m > n$，
$$
|x_m - x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1} - x_k| \le d \sum_{k=n}^{m-1} q^k.
$$
因为 $0 $$
\sum_{k=n}^{m-1} q^k \le \frac{q^n}{1-q}.
$$
所以
$$
|x_m - x_n| \le d \frac{q^n}{1-q}.
$$
当 $\displaystyle{n\to\infty}$ 时，右边趋于 0，因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $m>n>N$ 时，$|x_m - x_n|<\varepsilon$，即 $\{x_n\}$ 是柯西序列。

3. 由实数完备性，柯西序列必收敛，故极限存在。

证毕。

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题目 1.3.14

题目：设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足
$$
|f(x)-f(y)| \le q|x-y| \quad (\forall x,y\in\mathbb{R}),
$$
其中 $0

证明：

1. 压缩性
由条件，对任意 $n\ge 1$，
$$
|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| \le q |x_n - x_{n-1}|.
$$
这正是 1.3.13 的条件，因此由 1.3.13 结论，$\{x_n\}$ 收敛。设极限为 $L$。

2. 极限是不动点
因为 $f$ 满足 Lipschitz 条件，所以 $f$ 连续。在递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两边取极限，得
$$
L = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(L).
$$
因此 $L$ 是 $f$ 的不动点。

3. 不动点唯一性（补充说明）
若还有另一个不动点 $M$，则
$$
|L-M| = |f(L)-f(M)| \le q|L-M|,
$$
由于 $0

证毕。

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题目 1.3.15

题目：设 $x_0=a, x_1=b\;(b>a)$，定义
$$
x_{2n} = \frac{x_{2n-1} + 2x_{2n-2}}{3}, \quad
x_{2n+1} = \frac{2x_{2n} + x_{2n-1}}{3}.
$$
求证：序列 $\{x_n\}$ 极限存在。

证明：

1. 观察相邻项差的关系
先计算偶数项与前一奇数项的差：
$$
x_{2n} - x_{2n-1} = \frac{x_{2n-1}+2x_{2n-2}}{3} - x_{2n-1}
= \frac{2x_{2n-2} - 2x_{2n-1}}{3}
= -\frac{2}{3}(x_{2n-1} - x_{2n-2}).
$$
再计算奇数项与前一偶数项的差：
$$
x_{2n+1} - x_{2n} = \frac{2x_{2n}+x_{2n-1}}{3} - x_{2n}
= \frac{x_{2n-1} - x_{2n}}{3}
= -\frac{1}{3}(x_{2n} - x_{2n-1}).
$$

2. 递推绝对值
由上面两式可得：
$$
|x_{2n} - x_{2n-1}| = \frac{2}{3} |x_{2n-1} - x_{2n-2}|,
$$
$$
|x_{2n+1} - x_{2n}| = \frac{1}{3} |x_{2n} - x_{2n-1}|.
$$
因此对任意 $k\ge 1$，
$$
|x_{k+1} - x_k| \le \frac{2}{3} |x_k - x_{k-1}|.
$$
因为 $\frac{2}{3} < 1$，这满足 1.3.13 的条件（取 $q=2/3$）。

3. 由 1.3.13 结论，序列 $\{x_n\}$ 收敛，极限存在。

证毕。

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以上三道题都通过构造相邻项差的压缩性质，利用几何级数估计得到柯西序列，从而证明收敛。