方企勤 第一章 分析基础 第1.5题

1.5.1

题目：
设 $f(x) \in C[a,b]$，且 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上单调。求证：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号。

证明：
假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上变号，即存在 $x_1, x_2 \in [a,b]$ 使得 $f(x_1) < 0 < f(x_2)$。由连续函数的介值定理，存在 $c$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $f(c)=0$。
于是 $|f(c)|=0$。由于 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上单调，且 $|f|$ 是非负函数，若它在某点取到最小值 $0$，则它在该点一侧恒为 $0$（单调性保证）。但 $f$ 连续，若 $|f|$ 在某区间恒为 $0$，则 $f$ 在该区间恒为 $0$，这与 $f(x_1)<0$ 或 $f(x_2)>0$ 矛盾。
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号。

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1.5.2

题目：
设 $\\displaystyle{f(x) \in C(-\infty,+\infty)}$，严格单调，且
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to -\infty} f(x)=0,\quad \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
}$$
求证：方程 $f^3(x)-6f^2(x)+9f(x)-3=0$ 有且仅有三个根。

证明：
令 $t = f(x)$，则原方程化为
$$
t^3 - 6t^2 + 9t - 3 = 0.
$$
记 $g(t)=t^3-6t^2+9t-3$。求导：
$$
g'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3).
$$
所以 $g$ 在 $(-\infty,1)$ 增，$(1,3)$ 减，$(3,+\infty)$ 增。计算极值：
$g(1)=1-6+9-3=1$，$g(3)=27-54+27-3=-3$。
又 $\lim_{t\to -\infty} g(t)=-\infty$，$\lim_{t\to +\infty} g(t)=+\infty$。
由连续函数介值定理，$g(t)=0$ 在 $(-\infty,1)$ 有一个根，在 $(1,3)$ 有一个根，在 $(3,+\infty)$ 有一个根，共三个实根，记为 $t_1<1

由于 $f$ 严格单调且连续，值域为 $(0,+\infty)$，故对每个 $t_i>0$，存在唯一的 $x_i$ 使得 $f(x_i)=t_i$。因此原方程恰有三个根。

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1.5.3

题目：
设 $f_n(x)=x^n+x$。
(1) 对任意自然数 $n>1$，方程 $f_n(x)=1$ 在 $\displaystyle (\frac12,1)$ 内有且仅有一个根。
(2) 若 $\displaystyle c_n\in(\frac12,1)$ 是根，求 $\lim_{n\to\infty}c_n$。

解 (1)：
考虑 $h_n(x)=x^n+x-1$。$h_n$ 在 $[0,1]$ 连续。
$\displaystyle h_n(\frac12)=(\frac12)^n+\frac12-1$。由于 $n>1$，$\displaystyle (\frac12)^n \le \frac14$，故
$$
h_n(\frac12) \le \frac14+\frac12-1 = -\frac14 < 0.
$$
$h_n(1)=1+1-1=1>0$。由介值定理，存在根在 $\displaystyle (\frac12,1)$。
又 $h_n'(x)=nx^{n-1}+1>0$ 在 $(0,1]$，故 $h_n$ 严格增，根唯一。

解 (2)：
由 $c_n^n + c_n = 1$ 得 $c_n = 1 - c_n^n$。
由于 $0因此 $\lim_{n\to\infty} c_n = 1-0 = 1$。

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1.5.4

题目：
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界。求证：$\exists c\in[a,b]$，使得对 $\forall \delta>0$，$f(x)$ 在 $[c-\delta,c+\delta]\cap[a,b]$ 上无界。

证明：
用区间套定理。
因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上无界，将区间二等分 $\displaystyle [a,\frac{a+b}{2}]$ 和 $\displaystyle [\frac{a+b}{2},b]$，至少有一个子区间上 $f$ 无界（否则两个都有界，则原区间有界，矛盾）。取无界的那个子区间记为 $[a_1,b_1]$。
重复此过程，得到一列闭区间套 $[a_n,b_n]$，长度趋于 $0$，且每个区间上 $f$ 无界。
由区间套定理，存在唯一的 $c\in\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]$。
对任意 $\delta>0$，当 $n$ 充分大时 $[a_n,b_n]\subset (c-\delta,c+\delta)$，而 $f$ 在 $[a_n,b_n]$ 上无界，故在 $(c-\delta,c+\delta)\cap[a,b]$ 上也无界。证毕。

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以上是四道题的完整解答。