方企勤 第一章 分析基础 第1.5题

题目 1.5.6

题目：设 $f(x), g(x) \in C[a,b]$，求证：
$$
\max_{a \leq x \leq b} |f(x) + g(x)| \leq \max_{a \leq x \leq b} |f(x)| + \max_{a \leq x \leq b} |g(x)|.
$$

证明：

对任意 $x \in [a,b]$，由绝对值三角不等式：
$$
|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|.
$$

又因为对于任意 $x$，有
$$
|f(x)| \leq \max_{a \leq t \leq b} |f(t)|, \quad |g(x)| \leq \max_{a \leq t \leq b} |g(t)|,
$$
所以
$$
|f(x) + g(x)| \leq \max_{a \leq t \leq b} |f(t)| + \max_{a \leq t \leq b} |g(t)|.
$$

上式对一切 $x \in [a,b]$ 成立，因此左边关于 $x$ 的最大值也不超过右边这个常数，即
$$
\max_{a \leq x \leq b} |f(x) + g(x)| \leq \max_{a \leq t \leq b} |f(t)| + \max_{a \leq t \leq b} |g(t)|.
$$

证毕。

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题目 1.5.7

题目：设 $f(x) \in C[a,b]$，且有唯一的取到最大值的点 $x^*$，又设
$x_n \in [a,b]$，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x^*)$。求证：$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n = x^*}$。

证明：

用反证法。假设 $x_n$ 不收敛到 $x^*$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和一个子列 $\{x_{n_k}\}$，使得
$$
|x_{n_k} - x^*| \ge \varepsilon_0, \quad \forall k.
$$

由于 $[a,b]$ 是闭区间，有界序列必有收敛子列，因此 $\{x_{n_k}\}$ 存在一个收敛子列，不妨仍记为 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $y$，且由距离条件知 $y \neq x^*$，并且 $y \in [a,b]$。

由 $f$ 的连续性，有
$$
f(y) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x^*).
$$

但 $x^*$ 是唯一的取到最大值的点，这意味着 $f(y) = f(x^*)$ 且 $y \neq x^*$，这与唯一性矛盾。

因此假设不成立，必有 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n = x^*}$。

证毕。

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题目 1.5.5

题目：设 $\{x_n\}$ 为有界序列。求证：$\{x_n\}$ 以 $a$ 为极限的充分必要条件是：$\{x_n\}$ 的任一收敛子序列都有相同的极限值 $a$。

证明：

必要性：若 $x_n \to a$，则任意子列也收敛到 $a$，这是数列极限的基本性质，显然成立。

充分性：假设 $\{x_n\}$ 的任意收敛子列都收敛到 $a$，要证明 $x_n \to a$。

用反证法。若 $x_n$ 不收敛到 $a$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和一个子列 $\{x_{n_k}\}$，使得
$$
|x_{n_k} - a| \ge \varepsilon_0, \quad \forall k.
$$

由于 $\{x_n\}$ 有界，所以 $\{x_{n_k}\}$ 也有界。由 Bolzano–Weierstrass 定理，有界序列必有收敛子列，因此 $\{x_{n_k}\}$ 存在一个收敛子列 $\{x_{n_{k_j}}\}$，设其极限为 $b$。

由假设，任何收敛子列都收敛到 $a$，所以应有 $b = a$。但另一方面，由构造方式，对所有的 $j$ 有
$$
|x_{n_{k_j}} - a| \ge \varepsilon_0 > 0,
$$
取极限得 $|b - a| \ge \varepsilon_0 > 0$，矛盾。

因此原假设不成立，故 $x_n \to a$。

证毕。

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以上三题解答完毕。