方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.1题

题目：
设曲线既可用参数式 $x = x(t), y = y(t)$ 表示，又可用极坐标 $r = r(\theta)$ 表示。
求证：
$$
\frac12 r^2 \, d\theta = \frac12 (x\,dy - y\,dx).
$$

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证明：

首先，极坐标与直角坐标的转换关系为：
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
$$
这里 $r = r(\theta)$ 是 $\theta$ 的函数，而 $\theta$ 本身可以视为参数 $t$ 的函数，因此我们可以把 $x, y$ 看作 $t$ 的复合函数。

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步骤 1：计算极坐标下的面积元表达式

在极坐标中，面积元（扇形面积微元）为：
$$
dA = \frac12 r^2 \, d\theta.
$$
这是已知的几何事实：当角度变化 $d\theta$ 时，半径为 $r$ 的扇形面积近似为 $\frac12 r^2 d\theta$。

因此，左边即为 $\frac12 r^2 d\theta$。

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步骤 2：用直角坐标表示同样的面积元

在直角坐标参数形式下，由参数 $t$ 给出的曲线，其有向面积微元（即向量 $(x,y)$ 与 $(dx,dy)$ 所张平行四边形的有向面积的一半）为：
$$
\frac12 (x\,dy - y\,dx).
$$
这是因为：
$$
x\,dy - y\,dx =
\begin{vmatrix}
x & y \\
dx & dy
\end{vmatrix}
$$
正是向量 $(x,y)$ 与 $(dx,dy)$ 所张平行四边形的有向面积。

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步骤 3：将极坐标代入直角坐标表达式验证

将 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ 代入 $x\,dy - y\,dx$：

先计算微分：
$$
dx = \frac{dx}{d\theta} d\theta = (r'\cos\theta - r\sin\theta)\, d\theta,
$$
$$
dy = \frac{dy}{d\theta} d\theta = (r'\sin\theta + r\cos\theta)\, d\theta.
$$

于是：
$$
x\,dy - y\,dx = r\cos\theta\,(r'\sin\theta + r\cos\theta)\,d\theta - r\sin\theta\,(r'\cos\theta - r\sin\theta)\,d\theta.
$$

展开：
$$
= r\cos\theta\, r'\sin\theta\, d\theta + r^2\cos^2\theta\, d\theta - r\sin\theta\, r'\cos\theta\, d\theta + r^2\sin^2\theta\, d\theta.
$$

注意第一项和第三项互为相反数，相消：
$$
r r' \cos\theta\sin\theta - r r' \sin\theta\cos\theta = 0.
$$

剩下：
$$
r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)\, d\theta = r^2\, d\theta.
$$

因此：
$$
\frac12 (x\,dy - y\,dx) = \frac12 r^2\, d\theta.
$$

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步骤 4：结论

左右两边相等，即：
$$
\frac12 r^2 \, d\theta = \frac12 (x\,dy - y\,dx).
$$
证毕。

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关键步骤说明：
- 关键在于理解两个表达式都表示曲线下的有向面积微元，只是坐标系不同。
- 代入极坐标转换并化简时，交叉项恰好抵消，只剩下 $r^2 d\theta$，从而验证了恒等式。