方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.6题

解：

(1) 求极值点与极值

函数为
$$
f(x) = \frac{1}{x^2} + p x + q,\quad p>0,
$$
定义域为 $x \neq 0$。

首先求导：
$$
f'(x) = -\frac{2}{x^3} + p.
$$
令 $f'(x)=0$，得
$$
-\frac{2}{x^3} + p = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{x^3} = p \quad\Rightarrow\quad x^3 = \frac{2}{p}.
$$
因此唯一驻点为
$$
x_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{p}}.
$$
注意 $p>0$，所以 $x_0>0$。

再求二阶导数：
$$
f''(x) = \frac{6}{x^4}.
$$
在 $x_0$ 处，
$$
f''(x_0) = \frac{6}{\left(\sqrt[3]{\frac{2}{p}}\right)^4} = \frac{6}{\left(\frac{2}{p}\right)^{4/3}} = 6 \cdot \left(\frac{p}{2}\right)^{4/3} > 0,
$$
所以 $x_0$ 是极小值点。

极小值为
$$
f(x_0) = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{\frac{2}{p}}\right)^2} + p \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{p}} + q
= \left(\frac{p}{2}\right)^{2/3} + p \cdot \left(\frac{2}{p}\right)^{1/3} + q.
$$
注意第二项：
$$
p \cdot \left(\frac{2}{p}\right)^{1/3} = p^{2/3} \cdot 2^{1/3}.
$$
第一项：
$$
\left(\frac{p}{2}\right)^{2/3} = \frac{p^{2/3}}{2^{2/3}}.
$$
两项相加：
$$
\frac{p^{2/3}}{2^{2/3}} + p^{2/3} \cdot 2^{1/3} = p^{2/3} \left( \frac{1}{2^{2/3}} + 2^{1/3} \right).
$$
而 $\displaystyle \frac{1}{2^{2/3}} = 2^{-2/3}$，且 $2^{1/3} = 2^{1/3}$，注意到 $\displaystyle 2^{-2/3} + 2^{1/3} = 2^{-2/3} + 2^{1/3} = \frac{1 + 2}{2^{2/3}}?$ 实际上：
$$
2^{-2/3} + 2^{1/3} = 2^{-2/3} + 2^{1/3} = \frac{1}{2^{2/3}} + 2^{1/3} = \frac{1 + 2}{2^{2/3}} = \frac{3}{2^{2/3}}.
$$
因为 $\displaystyle 2^{1/3} = \frac{2}{2^{2/3}}$，所以
$$
\frac{1}{2^{2/3}} + \frac{2}{2^{2/3}} = \frac{3}{2^{2/3}}.
$$
因此极小值为
$$\\displaystyle{
f_{\min} = \frac{3 p^{2/3}}{2^{2/3}} + q = 3 \left(\frac{p}{2}\right)^{2/3} + q.
}$$

另外，当 $x \to 0^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x^2} \to +\infty$，$p x \to 0$，所以 $f(x) \to +\infty$；
当 $x \to 0^-$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x^2} \to +\infty$，$p x \to 0$，所以 $f(x) \to +\infty$；
当 $x \to +\infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x^2} \to 0$，$p x \to +\infty$，所以 $f(x) \to +\infty$；
当 $x \to -\infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x^2} \to 0$，$p x \to -\infty$，所以 $f(x) \to -\infty$。

因此函数在 $(-\infty,0)$ 上单调递减？需要检查符号：
$\displaystyle f'(x) = p - \frac{2}{x^3}$。
当 $x<0$ 时，$x^3<0$，则 $\displaystyle -\frac{2}{x^3} > 0$，所以 $f'(x) = p + \text{正数} > 0$，因此在 $(-\infty,0)$ 上 $f'(x)>0$，函数严格递增；
当 $x>0$ 时，$f'(x)=0$ 仅有一个解 $x_0$，且 $f'(x)<0$ 当 $00$ 当 $x>x_0$，所以 $x_0$ 是全局极小点。

综上：
- 极小值点：$\displaystyle x = \sqrt[3]{\frac{2}{p}}$，极小值 $\displaystyle f_{\min}=3\left(\frac{p}{2}\right)^{2/3}+q$；
- 无极大值点。

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**(2) 方程 $\displaystyle \frac{1}{x^2}+p x+q=0$ 有三个实根的条件**

方程等价于 $f(x)=0$。由(1)知 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递增，且
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty,
}$$
因此在 $(-\infty,0)$ 上 $f(x)$ 从 $-\infty$ 单调上升到 $+\infty$，由连续函数介值定理，必存在唯一一个负根。

在 $(0,+\infty)$ 上，$f(x)$ 先减后增，在 $x_0$ 处取极小值 $f_{\min}$，且
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
}$$
因此，在 $(0,+\infty)$ 上，方程 $f(x)=0$ 有实根的个数取决于极小值的符号：
- 若 $f_{\min} > 0$，则 $f(x)>0$ 恒成立，无正根；
- 若 $f_{\min} = 0$，则 $f(x)=0$ 有唯一正根（即 $x_0$ 处）；
- 若 $f_{\min} < 0$，则 $f(x)=0$ 有两个正根（一个在 $(0,x_0)$，一个在 $(x_0,+\infty)$）。

要使得方程共有三个实根，就需要在 $(-\infty,0)$ 有一个负根，在 $(0,+\infty)$ 有两个正根，因此必须满足
$$\\displaystyle{
f_{\min} < 0.
}$$
即
$$
3\left(\frac{p}{2}\right)^{2/3} + q < 0 \quad\Rightarrow\quad q < -3\left(\frac{p}{2}\right)^{2/3}.
$$

另外还需注意，$p>0$ 已给定。

因此，方程有三个实根的条件是：
$$
\boxed{q < -3\left(\frac{p}{2}\right)^{2/3}}.
$$