方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题

题目 3.6

已知函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x) = f(x - \pi) + \sin x
$$
且当 $x \in [0, \pi]$ 时，$f(x) = x$。
要求计算
$$
\int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx
$$

#### 第一步：利用递推关系分段表示函数

对于 $x \in [\pi, 2\pi]$，令 $t = x - \pi \in [0, \pi]$，则
$$
f(x) = f(x - \pi) + \sin x = f(t) + \sin x
$$
由于 $t \in [0, \pi]$，有 $f(t) = t$，所以
$$
f(x) = (x - \pi) + \sin x, \quad x \in [\pi, 2\pi]
$$

对于 $x \in [2\pi, 3\pi]$，令 $u = x - \pi \in [\pi, 2\pi]$，则
$$
f(x) = f(x - \pi) + \sin x = f(u) + \sin x
$$
而我们已经知道在 $[\pi, 2\pi]$ 上 $f(u) = (u - \pi) + \sin u$，代入 $u = x - \pi$ 得
$$
f(x) = \big[(x - \pi) - \pi\big] + \sin(x - \pi) + \sin x
$$
注意 $\sin(x - \pi) = -\sin x$，所以
$$
f(x) = x - 2\pi + (-\sin x) + \sin x = x - 2\pi, \quad x \in [2\pi, 3\pi]
$$

#### 第二步：分段积分

积分区间为 $[\pi, 3\pi]$，分成两段：
$$
\int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} \big[(x - \pi) + \sin x\big] \, dx + \int_{2\pi}^{3\pi} (x - 2\pi) \, dx
$$

先计算第一段：
$$
\int_{\pi}^{2\pi} (x - \pi) \, dx = \left[ \frac{(x - \pi)^2}{2} \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{(\pi)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{2}
$$
$$
\int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos 2\pi) - (-\cos \pi) = (-1) - (1) = -2
$$
所以第一段和为 $\frac{\pi^2}{2} - 2$。

再计算第二段：
$$
\int_{2\pi}^{3\pi} (x - 2\pi) \, dx = \left[ \frac{(x - 2\pi)^2}{2} \right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac{(\pi)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{2}
$$

#### 第三步：总和

$$
\int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx = \left( \frac{\pi^2}{2} - 2 \right) + \frac{\pi^2}{2} = \pi^2 - 2
$$

最终答案为：
$$
\boxed{\pi^2 - 2}
$$

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题目 3.3.7

对任意自然数 $n$，求证：
$$
\int_{0}^{n} \frac{1 - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n}{t} \, dt = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}
$$

#### 第一步：变量替换

令 $u = 1 - \frac{t}{n}$，则当 $t = 0$ 时 $u = 1$；当 $t = n$ 时 $u = 0$。
并且 $t = n(1 - u)$，所以 $dt = -n \, du$。
代入积分：
$$
\int_{0}^{n} \frac{1 - (1 - \frac{t}{n})^n}{t} \, dt
= \int_{1}^{0} \frac{1 - u^n}{n(1-u)} (-n) \, du
= \int_{0}^{1} \frac{1 - u^n}{1 - u} \, du
$$

#### 第二步：利用等比数列求和公式

对于 $u \neq 1$，有恒等式：
$$
\frac{1 - u^n}{1 - u} = 1 + u + u^2 + \cdots + u^{n-1}
$$
因此积分变为：
$$
\int_{0}^{1} (1 + u + u^2 + \cdots + u^{n-1}) \, du
$$

#### 第三步：逐项积分

$$
\int_{0}^{1} u^{k} \, du = \frac{1}{k+1}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1
$$
所以：
$$
\int_{0}^{1} (1 + u + \cdots + u^{n-1}) \, du = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}
$$

这就证明了等式成立。

$$
\boxed{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}
$$

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以上为两道题的完整解答。