方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.3题
📝 题目
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$$
求证: 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上, $F\left( x\right)$ 单调上升且右连续.
💡 答案解析
题目：
设
$$
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0, \\
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot \mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x), & x \ge 0,
\end{cases}
$$
其中 $\{a_n\}$ 是 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 中一列数。求证：在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上，$F(x)$ 单调上升且右连续。
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第一步：明确函数定义与符号含义
函数 $F(x)$ 在 $x \ge 0$ 时定义为
$$
F(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \cdot \mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x),
$$
其中 $\\displaystyle{\mathbf{1}_{[a_n, +\infty)}(x)}$ 是指示函数：当 $x \ge a_n$ 时取值为 1，否则为 0。
因此，对每个固定的 $x$，$F(x)$ 是所有满足 $a_n \le x$ 的项 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ 之和。
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第二步：证明单调上升
取 $0 \le x_1 < x_2$。
对于任意 $n$，若 $a_n \le x_1$，则必然 $a_n \le x_2$，所以
$$
\mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_1) \le \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_2).
$$
于是逐项比较级数：
$$
F(x_1) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_1)
\le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_2) = F(x_2).
$$
因此 $F$ 在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上单调上升（非减）。
关键说明：这里用到了级数的每一项都是非负的，且指示函数关于 $x$ 单调不减。
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第三步：证明右连续
要证对任意 $x_0 \ge 0$，有
$$
\lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0).
$$
固定 $x_0$。对任意 $x > x_0$，考虑差值：
$$
F(x) - F(x_0) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \left[ \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x) - \mathbf{1}_{[a_n,+\infty)}(x_0) \right].
$$
注意：
- 若 $a_n \le x_0$，则两项都是 1，差为 0；
- 若 $a_n > x$，则两项都是 0，差为 0；
- 若 $x_0 < a_n \le x$，则差为 1。
因此：
$$
F(x) - F(x_0) = \sum_{n: \, x_0 < a_n \le x} \frac{1}{2^n}.
$$
这是一个收敛级数的尾部（因为 $\\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 1/2^n = 1}$），且当 $x \to x_0^+$ 时，集合 $\{n: x_0 < a_n \le x\}$ 会缩小到空集（可能包含那些 $a_n = x_0$ 的点？注意这里 $a_n > x_0$ 严格大于，所以当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，没有 $a_n$ 落在 $(x_0, x]$ 内，除非 $x_0$ 本身是某个 $a_n$，但这里条件是 $a_n > x_0$，所以不会包含等于的情况）。
更严格地：对任意 $\varepsilon > 0$，因为级数 $\\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty 1/2^n}$ 收敛，存在 $N$ 使得 $\\displaystyle{\sum_{n=N+1}^\infty 1/2^n < \varepsilon/2}$。
对于 $n \le N$，只有有限个 $a_n$，所以存在 $\delta > 0$ 使得当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时，这些 $a_n$ 都不落在 $(x_0, x]$ 内（除非某个 $a_n = x_0$，但此时 $a_n \le x_0$，差为 0，不影响）。于是：
$$
F(x)-F(x_0) \le \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{2^n} < \varepsilon.
$$
因此 $\\displaystyle{\lim_{x\to x_0^+} F(x) = F(x_0)}$。
关键说明：右连续性的证明依赖于级数的一致收敛性（实际上由 Weierstrass M-判别法，因为 $\displaystyle \frac{1}{2^n}$ 是常数控制），从而可以逐项取极限，或者直接用尾估计。
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结论
$F(x)$ 在 $\\displaystyle{[0,+\infty)}$ 上单调上升且右连续。证毕。