方企勤 第四章 级 数 第4.1题

题目重述
已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足递推关系
$$
a_{n+1} = b_n - q a_n, \quad 0$$
且 $\\displaystyle{\lim_{n\to\infty} b_n = b}$ 存在，要证明 $\\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n}$ 存在。

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第一步：将递推关系转化为显式形式
由
$$
a_{n+1} = b_n - q a_n
$$
我们可以反复代入，得到通项公式。
先写出前几项：
$$
a_1 = b_0 - q a_0
$$
$$
a_2 = b_1 - q a_1 = b_1 - q(b_0 - q a_0) = b_1 - q b_0 + q^2 a_0
$$
一般地，递推下去可得
$$
a_{n} = (-q)^n a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (-q)^{n-1-k} b_k
$$
更整齐地，可以写成
$$
a_n = (-q)^n a_0 + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} b_j
$$
这可以通过数学归纳法验证。

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第二步：引入极限 $b$ 并分解
因为 $\\displaystyle{\lim b_n = b}$，我们可以设
$$
b_n = b + \varepsilon_n, \quad \varepsilon_n \to 0.
$$
代入上式：
$$
a_n = (-q)^n a_0 + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} (b + \varepsilon_j)
$$
把常数 $b$ 部分提出来：
$$
\sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} b = b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1 - (-q)} = b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1+q}.
$$
因此
$$
a_n = (-q)^n a_0 + b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1+q} + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} \varepsilon_j.
$$

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第三步：分析各项极限
- 由于 $0$$
\lim_{n\to\infty} (-q)^n = 0,
$$
因此 $(-q)^n a_0 \to 0$，且 $\displaystyle b\cdot \frac{1 - (-q)^n}{1+q} \to \frac{b}{1+q}$。

- 关键要处理余项
$$
R_n = \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} \varepsilon_j.
$$
令 $k = n-1-j$，则
$$
R_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-q)^k \varepsilon_{n-1-k}.
$$
由于 $\varepsilon_m \to 0$，对任意 $\delta>0$，存在 $N$ 使得当 $m>N$ 时 $|\varepsilon_m|<\delta$。
将求和分成两部分：$k$ 从 $0$ 到 $n-1-N-1$ 和剩下的部分。对于足够大的 $n$，第一部分中 $\varepsilon$ 指标大于 $N$，所以每一项绝对值小于 $\delta |q|^k$，其和小于 $\delta/(1-q)$；第二部分是有限项（最多 $N+1$ 项），每项乘以 $|q|^k$ 趋于 0，所以总和趋于 0。因此
$$
\lim_{n\to\infty} R_n = 0.
$$

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第四步：得出极限存在
由以上分析，
$$
\lim_{n\to\infty} a_n = 0 + \frac{b}{1+q} + 0 = \frac{b}{1+q}.
$$
极限存在且有限。

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结论：
$$
\boxed{\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{b}{1+q}}
$$
因此 $\{a_n\}$ 收敛，极限存在。