方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题

5.3.12

设
$$
u = e^x \cos y,\quad v = e^x \sin y
$$

#### (1) 证明当 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ 时，雅可比行列式不为零，但变换不是一一的。

步骤1：计算雅可比行列式

雅可比矩阵为：
$$
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
e^x \cos y & -e^x \sin y \\
e^x \sin y & e^x \cos y
\end{vmatrix}
$$

计算行列式：
$$
= e^{2x}(\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x} \neq 0
$$
因此对任意 $(x,y)$，雅可比行列式都不为零。

步骤2：说明变换不是一一的

因为 $\cos y$ 和 $\sin y$ 都是以 $2\pi$ 为周期的函数，所以
$$
(x,y) \quad\text{与}\quad (x, y+2\pi)
$$
映射到相同的 $(u,v)$。因此该变换在 $\mathbb{R}^2$ 上不是单射。

---

#### (2) 记 $\Omega = \{(x,y) \mid 0

步骤1：证明一一性

在 $\Omega$ 上，$y$ 被限制在长度为 $2\pi$ 的开区间内，且不包含端点，因此 $\cos y, \sin y$ 在该区间上是一一对应的（因为三角函数在长度为 $2\pi$ 的区间上是单射）。同时 $x$ 由 $u,v$ 唯一确定：
$$
e^x = \sqrt{u^2+v^2} > 0 \quad\Rightarrow\quad x = \ln\sqrt{u^2+v^2}
$$
因此映射是单射。

步骤2：求逆变换

由
$$
u = e^x \cos y,\quad v = e^x \sin y
$$
得：
$$
u^2+v^2 = e^{2x} \quad\Rightarrow\quad x = \frac12 \ln(u^2+v^2)
$$
又因为
$$
\frac{v}{u} = \tan y \quad\Rightarrow\quad y = \arctan\frac{v}{u}
$$
但需注意象限，实际上：
$$
y = \operatorname{atan2}(v,u)
$$
其中 $\operatorname{atan2}$ 返回 $(0,2\pi)$ 内的角度。由于 $0

因此逆变换为：
$$
x = \frac12 \ln(u^2+v^2),\quad y = \operatorname{atan2}(v,u)
$$

---

5.3.13

#### (1)
$$
\begin{cases}
u = xy,\\
v = \frac{x}{y}
\end{cases}
$$

**步骤1：求 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$**

$$
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =
\begin{vmatrix}
y & x \\
\frac{1}{y} & -\frac{x}{y^2}
\end{vmatrix}
= y\cdot\left(-\frac{x}{y^2}\right) - x\cdot\frac{1}{y}
= -\frac{x}{y} - \frac{x}{y} = -\frac{2x}{y}
$$

**步骤2：求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$**

由反函数定理：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}} = -\frac{y}{2x}
$$
但需用 $u,v$ 表示。由 $u=xy, v=x/y$ 得：
$$
x^2 = uv,\quad y^2 = \frac{u}{v}
$$
因此：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{y}{2x} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{y}{x} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{v}
$$
注意这里 $v = x/y$，所以 $y/x = 1/v$，因此：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{1}{2v}
$$

---

#### (2)
$$
\begin{cases}
u = x^2 + y^2,\\
v = 2xy
\end{cases}
$$

**步骤1：求 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$**

$$
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =
\begin{vmatrix}
2x & 2y \\
2y & 2x
\end{vmatrix}
= 4x^2 - 4y^2 = 4(x^2 - y^2)
$$

**步骤2：求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$**

由反函数定理：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{4(x^2 - y^2)}
$$
用 $u,v$ 表示 $x^2 - y^2$：
$$
(x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 - y^2)^2
$$
即：
$$
u^2 - v^2 = (x^2 - y^2)^2
$$
所以：
$$
x^2 - y^2 = \pm\sqrt{u^2 - v^2}
$$
因此：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{4(x^2 - y^2)} = \frac{\pm 1}{4\sqrt{u^2 - v^2}}
$$
符号取决于 $(x,y)$ 所在区域。

---

5.3.14

#### (1)
$$
\begin{cases}
x + y + z = 0,\\
x^2 + y^2 + z^2 = 6
\end{cases}
$$

步骤1：求一阶导数

对第一个方程关于 $x$ 求导：
$$
1 + \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} = -1
$$
对第二个方程关于 $x$ 求导：
$$
2x + 2y\frac{dy}{dx} + 2z\frac{dz}{dx} = 0 \quad\Rightarrow\quad y\frac{dy}{dx} + z\frac{dz}{dx} = -x
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dx} = -1,\\
y\frac{dy}{dx} + z\frac{dz}{dx} = -x
\end{cases}
$$
用消元法：第一式乘 $y$ 减第二式：
$$
(y - z)\frac{dz}{dx} = -y + x
$$
所以：
$$
\frac{dz}{dx} = \frac{x - y}{y - z}
$$
同理：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{z - x}{y - z}
$$

步骤2：求二阶导数

对 $\frac{dy}{dx} = \frac{z - x}{y - z}$ 再对 $x$ 求导：
$$
\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(\frac{dz}{dx} - 1)(y - z) - (z - x)(\frac{dy}{dx} - \frac{dz}{dx})}{(y - z)^2}
$$
代入一阶导数的表达式即可化简。类似可得 $\frac{d^2 z}{dx^2}$。

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#### (2)
$$
\begin{cases}
z = x^2 + y^2,\\
2x^2 + 2y^2 - z^2 = 0
\end{cases}
$$

步骤1：化简

由第一式代入第二式：
$$
2(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)^2 = 0
$$
令 $t = x^2 + y^2$，则：
$$
2t - t^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad t(2 - t) = 0
$$
所以 $t=0$ 或 $t=2$。

- 若 $t=0$，则 $x=y=0$，此时 $z=0$。
- 若 $t=2$，则 $z=2$，且 $x^2 + y^2 = 2$。

步骤2：求导数

在 $t=2$ 的情形下，由 $z=2$ 常数，所以：
$$
\frac{dz